AMC 10 · 2015 · #12

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometryquadratic-equations bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

중심이 (5,5)이고 반지름이 10인 원이 있다. x가 정수일 때 (x,-x) 꼴의 점들을 모두 살펴보고, 그중 원의 내부 또는 원 위에 놓이는 점이 몇 개인지 센다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

"원의 내부 또는 원 위"는 기하 조건이지만, 깔끔한 대수적 의미가 있다: 점에서 중심까지의 거리가 반지름 이하라는 것이다. 그래서 핵심은 도구 #13(대수로 바꾸기) — 거리 공식을 써서 "거리 ≤ 10"을 x에 대한 부등식으로 바꾸고 정리한다. 도구 #1(그림 그리기)은 원과 모든 후보 점이 놓이는 직선 y=-x를 떠올리는 데 도움이 되고, 도구 #4(변수 도입하기)는 점들이 이미 x로 매개되어 주어진 셈이다. 부등식이 x에 대한 간단한 범위로 줄어들면, 답을 세는 일은 수직선 위에서 정수를 세는 것뿐이다.

1STEP 1

원 조건을 부등식으로 바꾸기

내부 또는 원 위는 (x,-x)에서 중심 (5,5)까지 거리가 10 이하란 뜻이라, 거리의 제곱이 100 이하다.

(x-5)² + (-x-5)² ≤ 100

2STEP 2

전개하고 정리하기

두 제곱을 전개하면 일차항(-10x와 +10x)이 상쇄되어 전체가 x² ≤ 25로 줄어든다.

(x²-10x+25)+(x²+10x+25) ≤ 100 → 2x² + 50 ≤ 100 → x² ≤ 25

3STEP 3

x의 범위 구하기

x² ≤ 25에 제곱근을 취하면 |x| ≤ 5, 즉 x는 양 끝을 포함해 -5 ≤ x ≤ 5 범위다.

x² ≤ 25 → |x| ≤ 5 → -5 ≤ x ≤ 5

4STEP 4

정수 세기

-5부터 5까지의 정수는 음수 다섯, 양수 다섯, 0을 더해 모두 11개이므로 답은 (A)이다.

-5,-4,…,4,5 → 11 개의 정수 → (A)

정답

경계점을 확인한다. x=5이면 점은 (5,-5)이고, 중심 (5,5)까지의 거리의 제곱은 0²+(-10)²=100=10²로 정확히 원 위에 있어 포함된다. x=6이면 점은 (6,-6)이고 거리의 제곱은 1²+(-11)²=122 ＞ 100로 바깥에 있어 올바르게 제외된다. 양 끝 ± 5가 부등식이 예측한 대로 행동하고, 11은 보기 중 하나이므로 (A)는 일관적이다.

💡핵심 정리

"원의 내부 또는 원 위"는 곧 "중심까지의 거리가 반지름 이하"라는 뜻이다 — 이것을 부등식으로 쓰고, 정리한 뒤, 조건에 맞는 정수를 세면 된다.

원 조건을 부등식으로 바꾸기
전개하고 정리하기
x의 범위 구하기
정수 세기

원 조건을 부등식으로 바꾸기

전개하고 정리하기

x의 범위 구하기

정수 세기

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