AMC 10 · 2015 · #13

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

coordinate-geometryarea-trianglesinteger-pythagorean-triples identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglescoordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

직선 12x+5y=60 은 제1사분면을 가로지르며, x축 및 y축과 함께 삼각형을 만든다. 이 삼각형의 세 높이(각 꼭짓점에서 마주 보는 변에 내린 수선)를 구하고 그 길이의 합을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\dfrac{360}{17}$

(C)

$\dfrac{107}{5}$

(D)

$\dfrac{43}{2}$

(E)

$\dfrac{281}{13}$

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

직선과 축에 관한 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)을 먼저 쓴다. 절편을 찍으면 세 꼭짓점이 정해지고, 축에 붙은 직각삼각형이 드러난다. 변이 축 위에 놓인 직각삼각형이 되면 세 높이는 쉬운 조각으로 나뉘므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 하나씩 처리한다 — 두 직각변 자체가 높이가 되고, 세 번째 높이(빗변에 내린 높이)는 넓이에서 나온다. 도구 #3(가능성 지우기)은 안전장치이다: 분모가 13 인 보기는 단 하나뿐인데, 그것이 바로 빗변에 내린 높이가 강제하는 값이다.

1STEP 1

세 꼭짓점 찾기

y=0이면 x=5, x=0이면 y=12; 축의 교점을 더해 세 꼭짓점은 (0,0), (5,0), (0,12) 이다.

y=0→ x=5; x=0→ y=12; 꼭짓점: (0,0),(5,0),(0,12)

2STEP 2

직각삼각형과 빗변 보기

축 위의 두 변은 5와 12이고 직각으로 만나므로, 피타고라스 정리로 빗변은 √(5²+12²)=13 이다.

√(5²+12²)=√(25+144)=√(169)=13

3STEP 3

두 높이는 직각변 그 자체

두 직각변은 서로 수직이라 각 변이 다른 변에 대한 높이이므로, 두 높이는 직각변 12와 5 이다.

h₁=12, h₂=5

4STEP 4

넓이로 세 번째 높이 구하기

넓이는 1/2·5·12=30이고 1/2·13·h₃ 이기도 하므로, 빗변에 내린 높이는 h₃=60/13 이다.

1/2·13· h₃=30 → h₃=60/13

5STEP 5

세 높이 더하기

세 높이를 더하면 5+12+60/13=281/13; 분모가 13인 보기는 (E)뿐이므로 정답은 (E)이다.

5+12+60/13=(221+60)/13=281/13

정답

281/13

크기를 확인하자: 세 높이는 12, 5, 60/13≈4.6 이므로 합은 약 21.6 이다. 분수 281/13≈21.6 과 일치한다. 또한 긴 빗변에 내린 높이(≈4.6)가 셋 중 가장 짧은 것도 자연스럽다. 넓이를 30 으로 유지하려면 가장 긴 변에는 가장 짧은 높이가 필요하기 때문이다.

💡핵심 정리

직각삼각형에서 두 직각변은 이미 높이이고, 비스듬한 변에는 넓이가 그대로라는 점을 이용해 그에 맞는 높이를 구하면 된다.

세 꼭짓점 찾기
직각삼각형과 빗변 보기
두 높이는 직각변 그 자체
넓이로 세 번째 높이 구하기
세 높이 더하기

세 꼭짓점 찾기

직각삼각형과 빗변 보기

두 높이는 직각변 그 자체

넓이로 세 번째 높이 구하기

세 높이 더하기

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