AMC 10 · 2015 · #14

학년 8 algebra
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
quadratic-equationsvieta-formulasoptimization convert-to-algebra ↑ 선수 지식: quadratic-equationsvieta-formulas
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
서로 다른 한 자리 수 a, b, c 를 골라 방정식 (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=0 에 넣습니다. 이 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 두 근의 합이 가능한 한 커지도록 a, b, c 를 고르고, 그 합을 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
15
(B)
15.5
(C)
16
(D)
16.5
(E)
17

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 극단의 원리

문제가 최댓값을 묻고 있으므로 도구 #14(극단의 원리)가 중심축입니다. 근의 합에 대한 깔끔한 식을 얻고 나면 a, b, c 를 허용된 가장 큰 값으로 밀어붙입니다. 그 깔끔한 식을 얻기 위해 먼저 도구 #4(변수 도입하기)에 기댑니다: 전부 전개하는 대신 a, b, c 를 문자 그대로 두고 공통 인수 (x-b) 를 묶어내면 근을 바로 읽을 수 있습니다. 근의 합은 a, c 보다 b 에 더 큰 비중을 두는 꼴이라, 가장 큰 수를 어디에 넣어야 하는지 극단의 원리에게 정확히 알려줍니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 계산한 합을 다섯 개의 수 선택지 중 하나에 맞춥니다.

1STEP 1

공통 인수를 묶어내기

두 항 모두 (x-b) 를 품으니 묶어내면, 괄호 안에는 (x-a)+(x-c)=2x-a-c 가 남습니다.

(x-b)[(x-a)+(x-c)]=(x-b)(2x-a-c)=0
2STEP 2

두 근을 읽어내기

곱이 0 이려면 한 인수가 0 이어야 하니, x-b=0 은 x=b 를, 2x-a-c=0 은 x=(a+c)/2 를 줍니다.

x=b 또는 2x-a-c=0 → x=(a+c)/2
3STEP 3

근의 합을 식으로 쓰기

두 근을 더하면 최대로 만들 합 b+(a+c)/2 이 나오는데, b 는 온전히, a 와 c 는 각각 절반만 세어집니다.

합=b+(a+c)/2
4STEP 4

가장 큰 값을 배정하고 계산하기

가장 큰 수를 온전한 자리 b=9 에, 다음으로 a=8, c=7 을 넣으면 9+(8+7)/2=16.5, 선택지 (D) 입니다.

b=9, a=8, c=7: 9+15/2=16.5 → (D)
정답
16.5
b=9 가 정말 최선인지 경쟁하는 배정으로 확인합니다. 대신 b=8, a=9, c=7 로 하면 합은 8+(9+7)/2=8+8=16 으로 16.5 보다 작습니다. 9 를 절반 비중 자리에 넣으면 그 일부를 낭비하는 셈이라, 온전히 세어지는 자리 b 에 가장 큰 값을 두어야 함이 확인됩니다. 따라서 16.5 가 진짜 최댓값이고, 이는 선택지 맨 위에 자리하는데 최댓값이라면 마땅히 그래야 할 위치입니다.
💡핵심 정리

공통 인수를 묶어내 근을 찾은 다음, 합에서 어느 변수가 가장 크게 세어지는지 보고 그 자리에 가장 큰 수를 넣어라.

  • 공통 인수를 묶어내기
  • 두 근을 읽어내기
  • 근의 합을 식으로 쓰기
  • 가장 큰 값을 배정하고 계산하기

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