AMC 10 · 2015 · #16

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

probability-basicmultiplespermutations-basic systematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basicmultiples

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Al, Bill, Cal이 각각 1부터 10까지의 서로 다른 자연수를 무작위로 하나씩 받는다. Al의 수가 Bill의 수의 자연수 배수이고, Bill의 수가 Cal의 수의 자연수 배수일 확률을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{9}{1000}$

(B)

$\dfrac{1}{90}$

(C)

$\dfrac{1}{80}$

(D)

$\dfrac{1}{72}$

(E)

$\dfrac{2}{121}$

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

조건이 세 수를 배수 관계로 묶고 있으니 먼저 그 조건을 다시 정리한다(도구 #15). 세 수가 서로 다르고 각각이 다음 수를 나누므로, Cal의 수는 Bill의 수보다 작고 Bill의 수는 Al의 수보다 작다. 그러면 문제는 약수 사슬의 개수를 세는 일로 바뀐다. 이를 두 개의 작은 문제로 나눈다(도구 #7): 조건을 만족하는 사슬은 몇 개인가, 전체 배정 방법은 몇 개인가. 만족하는 사슬은 적고 규칙적이므로 빠짐없이 나열하면(도구 #2) 하나도 빠뜨리거나 겹치지 않는다.

1STEP 1

조건을 크기 순서로 바꾸기

수가 모두 다르고 각각 다음 수를 나누므로 약수는 더 작아야 한다 — 사슬은 Cal ＜ Bill ＜ Al로 정해진다.

Cal ∣ Bill ∣ Al, Cal ＜ Bill ＜ Al

2STEP 2

똑같이 일어나는 전체 경우 세기

조건을 잊고 서로 다른 세 수를 나눠 주면 10 · 9 · 8 = 720가지, 이것이 분모다.

10 · 9 · 8 = 720

3STEP 3

모든 약수 사슬 나열하기

Cal 기준으로 사슬을 나열: Cal =1이면 4+2+1+1 = 8, Cal =2이면 1, Cal ≥ 3이면 없음 — 모두 9개 사슬.

4+2+1+1_Cal=1 + 1_Cal=2 = 9

4STEP 4

만족하는 경우를 전체로 나누기

각 사슬은 정확히 배정 하나이므로 9/720 = 1/80 — 보기 (C).

9/720 = 1/80 → (C)

정답

1/80

만족하는 경우 9는 720에 비해 아주 작은데, 두 조건을 동시에 만족해야 하므로 대부분의 무작위 세 수가 실패한다는 점과 잘 맞는다. 그래서 1/80 정도의 확률은 타당하다. 사슬 (1,2,8)을 확인하면 8은 2의 배수, 2는 1의 배수이고 셋이 모두 다르니 올바르게 셈에 들어간다. 약분한 1/80도 보기 안에 깔끔히 들어 있다.

💡핵심 정리

서로 다른 수가 각각 다음 수를 나눠야 하면 수는 점점 커질 수밖에 없으니, 조건에 맞는 몇 안 되는 사슬만 나열하고 전체 나눠 주는 경우로 나누면 된다.

조건을 크기 순서로 바꾸기
똑같이 일어나는 전체 경우 세기
모든 약수 사슬 나열하기
만족하는 경우를 전체로 나누기

조건을 크기 순서로 바꾸기

똑같이 일어나는 전체 경우 세기

모든 약수 사슬 나열하기

만족하는 경우를 전체로 나누기

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