AMC 10 · 2015 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

pythagorean-theoremperpendicular-bisectorisosceles-triangle convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

△ ABC 는 C 에서 직각이고 빗변 AB = 12 입니다. 빗변 위에 정사각형 ABXY 를 바깥쪽으로, 변 AC 위에 정사각형 ACWZ 를 바깥쪽으로 만듭니다. 두 정사각형의 바깥 꼭짓점 네 개 X, Y, Z, W 가 모두 하나의 원 위에 놓입니다. 삼각형의 둘레 AC + BC + AB 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$12+9\sqrt{3}$

(B)

$18+6\sqrt{3}$

(C)

$12+12\sqrt{2}$

(D)

(E)

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

문장이 직각삼각형 위에 쌓인 도형들을 묘사하므로 첫 수는 도구 #1(그림 그리기)입니다: 직각을 원점에 두고 도형을 좌표격자에 고정합니다. 그러면 모든 정사각형 꼭짓점이 좌표 한 쌍이 됩니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 모르는 두 다리를 a, b 로 이름 붙이면, 주어진 단 하나의 사실 — 네 꼭짓점이 한 원 위에 있다는 것 — 을 방정식으로 적을 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 나눕니다: 먼저 원의 중심을 찾고, 그다음 네 꼭짓점이 하나의 반지름을 공유하도록 강제합니다. 그 한 조건이 삼각형의 모양을 못 박고, 둘레는 저절로 떨어집니다.

1STEP 1

다리에 이름 붙이고 피타고라스 적용

다리를 b = AC, a = BC 로 두면, 직각이 C 이고 AB = 12 이므로 피타고라스가 a² + b² = 144 를 줍니다.

a² + b² = AB² = 12² = 144

2STEP 2

모든 것을 좌표격자에 올리기

C, A, B 를 원점·축에 두고 정사각형을 바깥으로 만들면 W=(0,-b), Z=(b,-b), X=(a,a+b), Y=(a+b,b).

C=(0,0), A=(b,0), B=(0,a); W=(0,-b), Z=(b,-b), X=(a,a+b), Y=(a+b,b)

3STEP 3

원의 중심 찾기

각 수직이등분선이 삼각형 ABC 의 것과 일치하므로 중심은 외심, 즉 빗변의 중점 M = (b/2, a/2) 입니다.

M = AB 의 중점 = (b/2, a/2)

4STEP 4

네 꼭짓점을 하나의 반지름에 맞추기

M 에서 빗변쪽 꼭짓점까지 MX² = 180, 다리쪽 꼭짓점까지 MW² = a²/4 + 5b²/4 + ab; 한 원이려면 MW² = MX².

MX² = 180, MW² = a²/4 + 5b²/4 + ab, MW² = MX²

5STEP 5

두 방정식을 함께 풀기

a²+b²=144 를 대입하면 b²+ab=144=a²+b², 즉 ab=a², 따라서 a = b = 6√(2) — 직각이등변삼각형.

b² + ab = a² + b² → a = b; 2a² = 144 → a = b = 6√(2)

6STEP 6

세 변을 더하기

AC = BC = 6√(2), AB = 12 이므로 두 다리가 12√(2) 를 주어 둘레는 12 + 12√(2), 선택지 (C).

AC + BC + AB = 6√(2) + 6√(2) + 12 = 12 + 12√(2) → (C)

정답

12+12√(2)

a = b = 6√(2) 일 때 반지름이 정말 같은지 확인합니다. 그러면 a² = b² = 72, ab = 72. 빗변쪽 꼭짓점: MX² = 180. 다리쪽 꼭짓점: MW² = 72/4 + (5· 72)/4 + 72 = 18 + 90 + 72 = 180. 일치하므로 네 꼭짓점이 모두 반지름 √(180) 인 한 원 위에 진짜로 놓입니다. 둘레 12 + 12√(2) ≈ 28.97 도 타당합니다 — 30 을 살짝 밑도는데, 다리가 8.49 부근이고 빗변이 12 인 삼각형이라면 딱 맞는 값입니다.

💡핵심 정리

도형을 좌표격자에 올린 다음 '이 점들이 한 원 위에 있다'를 '이 점들이 중심까지 거리가 같다'로 바꿔라 — 같은 거리가 모양을 못 박는다.

다리에 이름 붙이고 피타고라스 적용
모든 것을 좌표격자에 올리기
원의 중심 찾기
네 꼭짓점을 하나의 반지름에 맞추기
두 방정식을 함께 풀기
세 변을 더하기