AMC 10 · 2015 · #25

학년 7 geometry-3d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

volume-rectangular-prismsurface-arealinear-diophantine bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: surface-areavolume-rectangular-prism

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

상자의 모서리 a ≤ b ≤ c 가 모두 자연수입니다. 부피 abc 와 겉넓이 2(ab+bc+ca) 가 수로서 같습니다. 이를 만족하는 순서쌍 (a,b,c) 의 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\; 4$

(B)

$\; 10$

(C)

$\; 12$

(D)

$\; 21$

(E)

$\; 26$

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

문제가 "몇 개"를 묻고 있으므로 목표는 빠짐없이 겹치지 않게 세는 것입니다(도구 #2, 빠짐없이 나열하기). 나열을 유한하게 만들기 위해 먼저 부피와 겉넓이를 식 abc=2(ab+bc+ca) 로 옮기고 나누어 frac1a+frac1b+frac1c=1/2 을 얻습니다(도구 #4, 변수 도입하기). 그다음 극단의 원리(도구 #14)가 가장 작은 모서리 a 를 좁은 범위 {3,4,5,6} 에 가두고, 각 a 값이 하나의 작은 문제(도구 #7)가 되어 약수쌍 나열로 풀립니다.

1STEP 1

부피 쓰기

모서리가 a, b, c 인 상자의 부피는 세 모서리의 곱 abc 입니다.

V = abc

2STEP 2

겉넓이를 쓰고 같게 놓기

똑같은 면 세 쌍이 겉넓이 2(ab+bc+ca) 를 이루고, 이를 부피 abc 와 같게 놓습니다.

abc = 2(ab+bc+ca)

3STEP 3

abc 로 나누기

양변을 abc 로 나누면 각 항이 변수를 하나씩 잃고 1/a+1/b+1/c=1/2 만 남습니다.

1 = 2(1/c+1/a+1/b) → 1/a+1/b+1/c=1/2

4STEP 4

가장 작은 모서리 a 의 범위 잡기

a 가 가장 큰 분수를 지녀 1/2 ≤ 3/a 이고 1/a 는 1/2 보다 작아, a 는 {3, 4, 5, 6} 뿐입니다.

1/2 ≤ 3/a → a ≤ 6, 1/a ＜ 1/2 → a ≥ 3

5STEP 5

경우 a = 3

a=3 이면 1/b+1/c=1/6 이 (b-6)(c-6)=36 으로 되어, 약수쌍이 5 개의 순서쌍을 줍니다.

1/b+1/c=1/6 → (b-6)(c-6)=36

6STEP 6

경우 a = 4

a=4 이면 1/b+1/c=1/4 이 (b-4)(c-4)=16 으로 되어, 약수쌍이 3 개의 순서쌍을 줍니다.

1/b+1/c=1/4 → (b-4)(c-4)=16

7STEP 7

경우 a = 5

a=5 이면 1/b+1/c=3/10 에서 b=5, c=10 으로 강제되어 순서쌍 (5,5,10) 하나뿐입니다.

1/b+1/c=3/10 → (b,c)=(5,10)

8STEP 8

경우 a = 6

a=6 이면 1/b+1/c=1/3 에서 b=6, c=6 으로 강제되어 정육면체 (6,6,6) 하나뿐입니다.

1/b+1/c=1/3 → (b,c)=(6,6)

9STEP 9

경우들을 더하기

네 경우는 겹치지 않으므로 더하면 5+3+1+1=10 개의 순서쌍, 즉 (B) 입니다.

5 + 3 + 1 + 1 = 10 → (B)

정답

10 은 선택지 중 하나입니다. 정육면체 (6,6,6) 은 직접 확인됩니다: 부피는 216, 겉넓이는 6 · 6² = 216 으로 같습니다. 가장 작은 모서리 a 가 {3,4,5,6} 안에 머물러 빠뜨린 경우가 없고, 개수 5,3,1,1 은 모두 빠짐없는 약수쌍 나열에서 나왔습니다. 합 10 은 선택지 (B)와 일치합니다.

💡핵심 정리

"부피 = 겉넓이"를 frac1a+frac1b+frac1c=1/2 로 바꾸고, 가장 작은 모서리를 몇 개 값으로 좁힌 뒤 각 경우에서 약수쌍을 세면 됩니다.

부피 쓰기
겉넓이를 쓰고 같게 놓기
abc 로 나누기
가장 작은 모서리 a 의 범위 잡기
경우 a = 3
경우 a = 4
경우 a = 5
경우 a = 6
경우들을 더하기