AMC 10 · 2015 · #9

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlesarea-difference identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circles

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

제1사분면에 색칠된 도형(상어 지느러미 모양 팔카타)이 있습니다. 그 바깥 경계는 중심 (0,0), 반지름 3 인 원의 사분원과 (0,0) 에서 (3,0) 까지의 선분으로 이루어지고, 중심 (0,3/2), 반지름 3/2 인 작은 원의 제1사분면 부분만큼 곡선 모양으로 한 입 떼어집니다. 이 색칠된 도형의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{4\pi}{5}$

(B)

$\dfrac{9\pi}{8}$

(C)

$\dfrac{4\pi}{3}$

(D)

$\dfrac{7\pi}{5}$

(E)

$\dfrac{3\pi}{2}$

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

지느러미는 이상한 모양이지만 두 개의 친숙한 조각으로 이루어져 있으므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 큰 사분원과 떼어지는 작은 반원으로 나눕니다. 도구 #1(그림 그리기)은 작은 원의 지름이 y축 위에 놓여 그 제1사분면 부분이 정확히 반원임을 보게 해 줍니다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 마무리합니다: 이상한 곡선 영역을 직접 재는 대신, 큰 사분원에서 떼어진 반원을 빼면 됩니다.

1STEP 1

큰 사분원의 넓이

큰 원(반지름 3)의 넓이는 9π 이고, 구석 사분원은 그 1/4 인 9π/4 입니다.

1/4 π (3)² = 9π/4

2STEP 2

작은 입은 반원이다

작은 원의 지름이 y축 위에 있어 제1사분면 부분은 반원이고 넓이는 9π/8 입니다.

1/2 π(3/2)² = 1/2·9π/4 = 9π/8

3STEP 3

사분원에서 입을 빼기

사분원에서 반원을 빼면 9π/4 - 9π/8 = 9π/8 이고, 이는 선택지 (B)입니다.

9π/4 - 9π/8 = 18π/8 - 9π/8 = 9π/8 → (B)

정답

9π/8

두 넓이는 비슷해 보이지만 같지 않습니다: 사분원은 9π/4=18π/8 이고 떼어낸 반원은 9π/8 로 정확히 그 절반입니다. 그래서 지느러미는 사분원 넓이의 절반인 9π/8≈ 3.53 이어야 합니다. 이는 양수이며 사분원(≈ 7.07)보다 작아 사분원에서 떼어낸 영역에 들어맞고, 선택지 (B)와 일치합니다.

💡핵심 정리

이상한 모양은 큰 조각에서 작은 입을 뺀 것으로 쪼갠 뒤, 두 넓이를 빼면 됩니다.

큰 사분원의 넓이
작은 입은 반원이다
사분원에서 입을 빼기

큰 사분원의 넓이

작은 입은 반원이다

사분원에서 입을 빼기

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