AMC 10 · 2016 · #15

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlestangent-circles area-difference ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름이 1인 둥근 쿠키 7개를 큰 반죽 원 하나에서 잘라낸다. 한 개는 가운데에 있고 여섯 개가 그 둘레를 감싼다. 이웃한 쿠키끼리는 서로 맞닿고, 바깥쪽 쿠키는 모두 반죽의 가장자리에도 맞닿는다. 남은 자투리 반죽을 모아 같은 두께의 쿠키 하나를 더 만든다. 그 자투리 쿠키의 반지름을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\sqrt{2}$

(B)

1.5

(C)

$\sqrt{\pi}$

(D)

$\sqrt{2\pi}$

(E)

$\pi$

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림이 모든 것을 쥐고 있으므로 도구 #1(그림 그리기)로 빠진 길이 하나, 즉 큰 반죽 원의 반지름을 읽어낸다. 중심에서 맞닿은 쿠키들을 따라 똑바로 걸어 나가면 된다. 그 다음은 넓이를 차근차근 정리하는 일뿐이므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 세 가지 작은 일로 나눈다: 큰 원의 넓이, 작은 원 일곱 개의 넓이, 그리고 자투리 쿠키가 되는 남은 넓이. 두께가 같으면 넓이도 같으니, 자투리의 반지름은 π r² = 남은 넓이에서 바로 나온다.

1STEP 1

큰 원의 반지름 구하기

중심에서 똑바로 걸어 나가며 쿠키 반지름 하나와 바깥 쿠키 지름을 더하면 반죽 반지름은 3이다.

R = 1 + 2 = 3

2STEP 2

반죽과 쿠키 한 개의 넓이

π r²로 계산하면 반지름 3인 반죽은 넓이 9π, 반지름 1인 쿠키는 넓이 π이다.

반죽 = π · 3² = 9π, 쿠키 한 개 = π · 1² = π

3STEP 3

남은 반죽의 넓이

쿠키 일곱 개가 7π를 쓰므로 남은 자투리는 9π − 7π = 2π이다.

자투리 넓이 = 9π - 7 · π = 9π - 7π = 2π

4STEP 4

넓이를 반지름으로 되돌리기

π r² = 2π로 놓고 π를 약분한 뒤 r² = 2의 제곱근을 취하면 반지름이 나온다.

π r² = 2π → r² = 2 → r = √(2), 즉 선택지 (A)

정답

√(2)

넓이가 깔끔하게 나뉘는지 확인한다: 반죽 9π, 쿠키 7π, 자투리 2π이고 7π + 2π = 9π이므로 반죽이 사라지거나 새로 생기지 않는다. 자투리 반지름 √(2)≈ 1.41은 반지름 1인 쿠키 한 개와 반지름 3인 반죽 사이에 알맞게 놓이고, √(2)는 선택지에 정확히 있으므로 (A)가 맞다.

💡핵심 정리

반죽은 9π, 쿠키 일곱 개는 7π를 쓰니 자투리 2π로 만든 쿠키는 r²=2, 즉 r=√(2)이다.

큰 원의 반지름 구하기
반죽과 쿠키 한 개의 넓이
남은 반죽의 넓이
넓이를 반지름으로 되돌리기

큰 원의 반지름 구하기

반죽과 쿠키 한 개의 넓이

남은 반죽의 넓이

넓이를 반지름으로 되돌리기

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