AMC 10 · 2016 · #18
학년 7 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"몇 가지"를 묻고 있으므로 구조가 정해지면 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 세기를 이끈다. 먼저 도구 #17(공간 상상하기)로 정육면체의 사실 — 각 꼭짓점은 세 면에, 각 모서리는 두 면에 — 을 확정하면 공통 면 합이 강제되고 극단의 수 1과 8이 어디에 와야 하는지 드러난다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 1과 8이 한 모서리를 공유하는 경우만 남기고 나머지를 지워 복잡한 탐색을 세 가지 깔끔한 경우로 줄인다. 도구 #1(그림 그리기)로 그 모서리에서 만나는 두 면과 정육면체 반대편의 모서리를 머릿속에 또렷이 두고 짝을 배치한다.
모든 면의 합은 18
여덟 수의 합은 36. 여섯 면을 모두 더하면 각 꼭짓점을 세 번 세므로 6S=3×36=108, 각 면 합은 18이다.
여섯 면을 모두 더하면 각 꼭짓점이 세 번씩 세어지므로 면의 합이 한 값으로 고정된다.
4.OA.A.3Visualize Spatial Relationships1과 8은 한 모서리를 공유해야 한다
8의 꼭짓점 세 면을 더하면 8의 이웃은 작고 1의 이웃은 커야 하는데, 이는 1과 8이 한 모서리를 공유할 때만 가능하다.
가장 큰 수는 작은 이웃들 사이에, 가장 작은 수는 큰 이웃들 사이에 숨어야 하므로 1과 8이 한 모서리에 묶인다.
6.EE.B.5Eliminate Possibilities각 면을 합이 9인 짝으로 채운다
1+8=9이므로 각 면은 합이 9인 두 수가 더 필요하고, {2,7},{3,6},{4,5}만 되며 어느 짝이 먼 모서리에 오느냐로 3가지.
각 면은 18까지 모자란 만큼을 채우는 두 수로 완성되어야 한다.
7.SP.C.8Make A Systematic List각 경우는 한 모양과 그 거울상을 준다
세 짝이 모두 제 모서리에 놓이면 남는 자유는 회전이 아닌 거울 뒤집기뿐이라 경우마다 2가지, 합쳐서 3×2=6.
남은 짝을 어떻게 고르든 한 모양과 그 거울상이 나오고, 그 외에는 없다.
7.SP.C.8Make A Systematic List모든 면이 18을 이루고, 그것이 1과 8을 한 모서리로 묶으며, 그다음 어느 짝을 먼 모서리에 둘지(3가지)와 거울 뒤집기(2가지)만 고르면 — 전부 여섯 가지 배치이다.
- 모든 면의 합은 18
- 1과 8은 한 모서리를 공유해야 한다
- 각 면을 합이 9인 짝으로 채운다
- 각 경우는 한 모양과 그 거울상을 준다
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
