AMC 10 · 2016 · #2
학년 8 arithmetic exponentslinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: exponents
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
10^x· 100²x=1000⁵ 이 참이 되게 하는 x 의 값을 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
(E)
5
AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 다르게 정리하기
양쪽이 세 가지 밑(10, 100, 1000)으로 적혀 있어서 어긋나 보입니다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 핵심입니다 — 모든 수를 하나의 밑 10 의 거듭제곱으로 바꾸면 그 어긋남이 사라집니다. 양쪽이 10 의 거듭제곱 하나로 정리되고 나면, 도구 #4(변수 도입하기)로 지수를 x 에 대한 평범한 방정식으로 보고 풀 수 있습니다.
1STEP 1
밑을 10 으로: 100²x=(10²)²x=10⁴x, 1000⁵=(10³)⁵=10¹⁵.
100²x=(10²)²x=10⁴x, 1000⁵=(10³)⁵=10¹⁵
모든 수를 10 의 거듭제곱으로 적으면 세 수가 같은 언어가 되어 서로 비교할 수 있습니다.
8.EE.A.1Organize Information In More Ways2STEP 2
밑이 같으니 지수를 더함: 10^x· 10⁴x=10⁵x, 즉 10⁵x=10¹⁵.
10^x· 10⁴x=10^x+4x=10⁵x=10¹⁵
밑이 같으니 곱셈은 지수를 더해서 한데 쌓는 것일 뿐입니다.
8.EE.A.1Organize Information In More Ways3STEP 3
거듭제곱이 같으면 지수도 같음: 5x=15, 따라서 x=3 — 답 (C).
5x=15 → x=15/5=3 → (C)
10 의 두 거듭제곱이 같다면, 유일한 방법은 지수가 같은 수가 되는 것입니다.
6.EE.B.7Use Matrix Logic정답
3
x=3 을 직접 확인합니다. 왼쪽은 10³· 100⁶=10³· 10¹²=10¹⁵ 가 되고, 이는 1000⁵=10¹⁵ 와 같습니다. 양쪽이 정확히 일치하므로 (C) 가 맞습니다. 1 이나 2 처럼 더 작은 x 는 왼쪽을 10⁵ 또는 10¹⁰ 으로 남겨 10¹⁵ 에 못 미칩니다.
💡핵심 정리
밑이 달라 보이면 모두 같은 수의 거듭제곱으로 바꾸세요 — 그러면 지수만 맞추면 됩니다.