AMC 10 · 2016 · #21

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length
tangent-circlescoordinate-geometrypythagorean-theorem convert-to-algebra ↑ 선수 지식: tangent-circles
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
반지름이 각각 1, 2, 3인 세 원(중심 P, Q, R)이 직선 l의 같은 쪽에 놓여 있고 각각 한 점에서 l에 접하며, 가운데 원의 접점이 나머지 두 접점 사이에 있다. 반지름 2인 원은 다른 두 원과 각각 외접한다. 삼각형 PQR의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
$\sqrt{\frac{2}{3}}$
(C)
1
(D)
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
(E)
$\sqrt{\frac{3}{2}}$

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

이 문제는 직선 위쪽에 놓인 세 중심의 위치에 관한 것이므로 도구 #1(그림 그리기)이 핵심이다. l을 x축에 두면 각 중심은 자신의 접점 바로 위, 반지름과 같은 높이에 놓인다. 도구 #4(변수 도입하기)로 중심들의 미지의 가로 위치에 이름을 붙이는데, 외접 조건이 각 중심 사이 거리를 알려진 수로 바꾸고, 직각삼각형(피타고라스 정리)이 그 거리를 가로 간격으로 바꿔 준다. 세 중심의 좌표가 모두 정해지면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 중심들을 직선에 내려 사다리꼴 넓이를 빼는 방식으로 복잡한 공식 없이 삼각형 넓이를 깔끔하게 구한다.

1STEP 1

좌표 틀 세우기

l을 x축에 놓으면 접하는 원의 중심은 접점에서 반지름만큼 곧장 위에 있어 높이가 P=1, Q=2, R=3으로 정해지고, 가로 위치만 미지수다.

P=(x_P, 1), Q=(x_Q, 2), R=(x_R, 3)
2STEP 2

접함을 거리로 바꾸기

외접이므로 중심 거리는 두 반지름의 합이라 PQ=3, QR=5이고, 각각 높이가 아는 두 중심을 잇는 직각삼각형의 빗변이다.

PQ=3, QR=5
3STEP 3

가로 간격 구하기

높이 차가 각각 1이라 피타고라스로 가로 간격은 PQ는 2√(2), QR는 2√(6); Q'을 원점에, P'은 왼쪽, R'은 오른쪽에 둔다.

x-간격_PQ=√(3²-1²)=2√(2), x-간격_QR=√(5²-1²)=2√(6)
4STEP 4

세 중심의 좌표 적기

Q=(0,2)에서 왼쪽은 P=(-2√(2), 1), 오른쪽은 R=(2√(6), 3); 삼각형 꼭짓점이 모두 수로 정해진다.

P=(-2√(2), 1), Q=(0, 2), R=(2√(6), 3)
5STEP 5

사다리꼴을 빼서 넓이 구하기

중심들을 x축에 내리면 삼각형은 PR 아래 사다리꼴에서 PQ, QR 아래를 뺀 것으로 넓이는 √(6)-√(2), 답은 (D)이다.

[PQR]=(4√(2)+4√(6))-(3√(2)+5√(6))=√(6)-√(2)→(D)
정답
√(6)-√(2)
답 √(6)-√(2)≈ 2.449-1.414≈ 1.035는 작은 양수로, 직선 바로 위에 줄지어 놓인 세 중심이 이루는 거의 납작한 삼각형과 잘 맞는다. 이는 중심들이 한 직선 위에 있어야 하는 (A) 0을 배제하는데, 실제로는 일직선이 아니다. P=(-2√(2),1), Q=(0,2), R=(2√(6),3)에 신발끈 공식을 빠르게 적용하면 1/2|(-2√(2))(2-3)+0(3-1)+2√(6)(1-2)|=1/2|2√(2)-2√(6)|=√(6)-√(2)로 정확히 일치한다.
💡핵심 정리

각 원의 중심을 접점 바로 위 반지름 높이에 세우고, 가로 간격은 피타고라스 정리로 구한 다음, 삼각형을 사다리꼴에서 파내면 √(6)-√(2)가 나온다.

  • 좌표 틀 세우기
  • 접함을 거리로 바꾸기
  • 가로 간격 구하기
  • 세 중심의 좌표 적기
  • 사다리꼴을 빼서 넓이 구하기

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