AMC 10 · 2016 · #23

학년 8 number-theory

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

function-evaluationfraction-arithmeticgcd logical-deductionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: function-evaluation

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

0이 아닌 실수에 대한 알 수 없는 연산 ◆ 는 두 규칙을 따른다: a◆(b◆ c)=(a◆ b)· c 이고 a◆ a=1 이다. 이 규칙만 이용해 2016◆(6◆ x)=100 에서 x 를 구하고, 기약분수 p/q 로 나타낸 뒤 p+q 를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

109

(B)

201

(C)

301

(D)

3049

(E)

33,601

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

연산이 무엇인지 직접 알려주지 않으므로, 결과 a◆ b 를 미지의 식으로 두고 두 규칙에 영리한 값을 대입해 그 식을 강제로 드러낸다. 같은 값을 대입하면 규칙 2가 규칙 1을 단순화시켜 연산이 보통의 나눗셈임을 확정한다. 그 뒤에는 대입하고 정리해 일차방정식을 푸는 평범한 과정이다.

1STEP 1

두 인수를 같게 만들기

규칙 1에 c=b 대입; 규칙 2로 안쪽 b◇b=1 이라 a◇1=(a◇b)· b 로 바뀐다.

a◆(b◆ b)=(a◆ b)· b → a◆ 1=(a◆ b)· b

2STEP 2

a ◇ 1 확정하기

이제 b=a 대입; 오른쪽은 (a◇a)· a 이고 a◇a=1 이므로 a◇1=a 이다.

a◆ 1=(a◆ a)· a=1· a=a

3STEP 3

연산 정체 밝히기

a◇1=(a◇b)· b 와 a◇1=a 를 합치면 (a◇b)· b=a, 즉 a◇b=a/b — 나눗셈이다.

(a◆ b)· b=a → a◆ b=a/b

4STEP 4

나눗셈이 두 규칙을 만족하는지 확인

a◇b=a/b 검사; 규칙 2는 a/a=1, 규칙 1은 a÷b/c=ac/b=a/b· c. 둘 다 성립.

a÷b/c=ac/b=a/b· c

5STEP 5

식에 대입하기

◇ 를 나눗셈으로: 6◇x=6/x, 그러면 2016÷6/x=2016· x/6=336x, 즉 336x=100.

2016◆(6/x)=2016·x/6=336x=100

6STEP 6

풀고 약분하기

336x=100 에서 x=100/336=25/84 (기약), p=25, q=84, p+q=109. 답 (A).

x=100/336=25/84, p+q=25+84=109

정답

109

나눗셈으로 앞에서부터 다시 확인한다: 6◆25/84=6÷25/84=504/25, 이어서 2016÷504/25=2016·25/504=4·25=100 으로 목표값과 정확히 일치한다. 기약분수 25/84 는 0 과 1 사이의 타당한 0이 아닌 실수이고, p+q=109 는 선택지 (A) 와 맞는다.

💡핵심 정리

연산이 규칙으로만 정의되어 있으면, 같은 값을 넣어 규칙을 무너뜨려서 그 아래 숨은 익숙한 연산을 알아내라.

두 인수를 같게 만들기
a ◇ 1 확정하기
연산 정체 밝히기
나눗셈이 두 규칙을 만족하는지 확인
식에 대입하기
풀고 약분하기