AMC 10 · 2016 · #5

학년 6 geometry-3d
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Integrality / Divisibility Screen
ratio-proportionvolume-rectangular-prismexponents guess-and-check ↑ 선수 지식: volume-rectangular-prism
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
직육면체 상자의 세 변의 길이가 정수이고 그 비가 1:3:4이다. 보기 중 이 상자의 부피가 될 수 있는 값을 고르시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
48
(B)
56
(C)
64
(D)
96
(E)
144

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

비 1:3:4는 세 변이 함께 움직인다는 뜻이다. 가장 짧은 변이 어떤 길이로 정해지면 나머지 두 변은 그 정수배로 고정된다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 가장 짧은 변을 k라 부르면 세 변은 k, 3k, 4k가 되고, 부피는 k 하나로 된 식으로 정리된다. 이 식이 상자가 가질 수 있는 모든 부피를 드러낸다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 보기를 이 식에 대입해 본다. 어떤 정수 k에 대해 식과 맞는 수만 살아남고 나머지는 탈락한다.

1STEP 1

가장 짧은 변에 이름 붙이기

가장 짧은 변을 k라 하면 비 1:3:4가 나머지 두 변을 3k와 4k로 고정한다.

세 변 = k, 3k, 4k
2STEP 2

부피 식 세우기

세 변을 곱하면 숫자 부분은 1·3·4=12, k 세 개가 모여 부피는 12k³이 된다.

V = k · 3k · 4k = 12k³
3STEP 3

가능한 부피 나열하기

k가 정수이므로 모든 부피는 12 곱하기 완전세제곱수이다; k=1,2,3이면 12, 96, 324.

k=1 → 12, k=2 → 12· 8 = 96, k=3 → 12· 27 = 324
4STEP 4

보기 확인하기

각 보기를 12로 나눠 완전세제곱수가 남아야 하는데 96만 통과한다(96/12=8=2³), k=2면 세 변은 2,6,8.

96 = 12 · 2³ → (D)
정답
96
k=2로 상자를 만들면 세 변은 2,6,8이고, 비는 2:6:8 = 1:3:4로 조건을 만족하며 모두 정수이다. 부피는 2· 6· 8 = 96으로 보기 (D)와 일치한다. 다른 보기들은 48,56,64,144를 12로 나누면 4, 4.67, 5.33, 12가 되어 완전세제곱수가 아니므로 어떤 정수 k로도 만들 수 없다.
💡핵심 정리

비를 문자 하나로 바꾸면 세 변이 k, 3k, 4k가 되고 부피는 12k³이 된다. 그래서 답은 12 곱하기 완전세제곱수여야 하고, 96만 들어맞는다.

  • 가장 짧은 변에 이름 붙이기
  • 부피 식 세우기
  • 가능한 부피 나열하기
  • 보기 확인하기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.