AMC 10 · 2016 · #10

학년 7 geometry-2d
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Multiplicative Rate or Series
similar-figuresratio-proportionarea-triangles dimensional-analysis ↑ 선수 지식: similar-figuresratio-proportion
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
두께가 일정한 얇은 나무로 만든 한 변의 길이가 3 인치인 정삼각형 조각의 무게가 12 온스이다. 같은 종류의 나무로 같은 두께로 만든 한 변의 길이가 5 인치인 정삼각형 조각의 무게(온스)에 가장 가까운 값을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
14.0
(B)
16.0
(C)
20.0
(D)
33.3
(E)
55.6

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

나무, 두께, 밀도가 모두 같으므로 각 조각의 무게는 전적으로 그 평평한 넓이에 달려 있다 — 도구 #8(단위 살펴보기)은 "넓이가 클수록 그에 비례해 온스도 커진다"고 알려준다. 두 조각 모두 정삼각형이므로 닮은꼴이고, 평평한 도형의 길이를 k 배 늘이면 넓이는 k² 배가 된다. 그러면 문제 전체가 하나의 비례식이 된다: 도구 #4(변수 도입하기)로 미지의 무게 w 에 이름을 붙이고 w/12 를 넓이의 비와 같다고 둔다. 이어서 도구 #3(가능성 지우기)으로 계산한 무게를 가장 가까운 선택지에 맞춘다.

1STEP 1

무게는 넓이를 따라간다

같은 나무·밀도·두께이니 달라지는 건 덮는 넓이뿐 — 무게는 넓이에 비례하므로 넓이만 비교하면 된다.

무게 ∝ 넓이 (같은 나무, 같은 두께)
2STEP 2

넓이는 변의 제곱에 비례해 커진다

두 삼각형은 정삼각형이라 닮은꼴; 변을 3에서 5로 5/3배 늘이면 넓이는 (5/3)² = 25/9배가 된다.

넓이₂/넓이₁ = (√(3)/4· 5²)/(√(3)/4· 3²) = 25/9
3STEP 3

비례식 세우기

두 번째 삼각형 무게를 w라 하면, 무게가 넓이에 비례하므로 무게 비는 넓이 비와 같다: w/12 = 25/9.

w/12 = 25/9
4STEP 4

풀고 가장 가까운 선택지 고르기

양변에 12를 곱하면 w = 12 · 25/9 = 300/9 ≈ 33.3 온스 — 다른 선택지와 멀어 정답은 (D).

w = 12 · 25/9 = 300/9 ≈ 33.3 = (D)
정답
33.3
변이 3 에서 5 로 두 배가 채 안 되게 커졌으므로 넓이 배율 25/9 ≈ 2.78 은 3 보다 작지만 2 보다는 훨씬 크다. 12 온스에 이 배율을 곱하면 24 와 36 사이에 와야 하고, 33.3 이 바로 거기에 있다. 함정 답 20.0 은 무게를 변의 제곱이 아니라 변의 비 5/3 로 곱한 결과이고, 55.6 은 두께도 함께 커진 것처럼 (5/3)³ 로 곱한 결과이다 — 두께가 일정하므로 둘 다 제외된다.
💡핵심 정리

평평한 도형이 두께를 그대로 유지하면 무게는 넓이를 따라간다 — 모든 길이를 k 배 늘이면 넓이도, 무게도 k² 배가 된다.

  • 무게는 넓이를 따라간다
  • 넓이는 변의 제곱에 비례해 커진다
  • 비례식 세우기
  • 풀고 가장 가까운 선택지 고르기

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