AMC 10 · 2016 · #11

학년 6 geometry-2d

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up

perimeterarea-rectanglessystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: perimeter

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Carl이 직사각형 정원을 울타리로 두르는데 기둥 20개를 써서 네 모서리에 하나씩 놓고 나머지는 변을 따라 이웃한 기둥 사이가 정확히 4야드가 되도록 고르게 배치한다. 모서리를 포함한 긴 변의 기둥 수가 모서리를 포함한 짧은 변의 기둥 수의 두 배이다. 정원의 넓이를 제곱야드로 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

256

(B)

336

(C)

384

(D)

448

(E)

512

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

두 변의 기둥 수는 '두 배'라는 관계와 정해진 총합으로 연결되어 있으므로, 짧은 변의 기둥 수를 변수로 두면 문장이 하나의 방정식이 된다. 간단한 그림은 공유되는 모서리 기둥을 두 번 세지 않게 도와주고, 한 변의 기둥 수를 알면 길이는 작은 곱셈 문제로 풀린다.

1STEP 1

변마다 기둥 수에 이름 붙이기

짧은 변의 기둥 수를 모서리까지 포함해 n이라 하면, 긴 변은 그 두 배인 2n개다.

n = 짧은 변의 기둥 수, 2n = 긴 변의 기둥 수

2STEP 2

직사각형 둘레의 기둥 세기

네 변을 더하면 2n + 2(2n), 두 번 세인 모서리 4개를 빼면 총합은 20이다.

2n + 2(2n) - 4 = 20

3STEP 3

n 구하기

정리하면 6n - 4 = 20, 곧 6n = 24, n = 4. 짧은 변은 기둥 4개, 긴 변은 8개다.

6n - 4 = 20 → 6n = 24 → n = 4

4STEP 4

기둥 수를 변의 길이로 바꾸기

길이는 기둥보다 하나 적은 간격 수에서 나온다. 4개→간격 3→12야드, 8개→간격 7→28야드.

3 × 4 = 12 yd, 7 × 4 = 28 yd

5STEP 5

넓이 구하기

정원은 12 × 28야드 직사각형이므로 넓이는 12 × 28 = 336제곱야드, 선택지 (B)다.

12 × 28 = 336 제곱야드

정답

336

기둥 수를 직접 확인하자. 4 + 8 + 4 + 8 = 24로 변별 합계이고, 두 번 세인 모서리 4개를 빼면 20개로 Carl이 산 수와 정확히 같다. 12 x 28 직사각형의 넓이는 336제곱야드로 답 (B)이며 주어진 선택지들 사이에 자연스럽게 놓인다.

💡핵심 정리

기둥이 아니라 간격을 세라. 한 줄의 기둥은 항상 기둥보다 간격이 하나 적고, 모서리는 두 변이 함께 쓴다.

변마다 기둥 수에 이름 붙이기
직사각형 둘레의 기둥 세기
n 구하기
기둥 수를 변의 길이로 바꾸기
넓이 구하기

변마다 기둥 수에 이름 붙이기

직사각형 둘레의 기둥 세기

n 구하기

기둥 수를 변의 길이로 바꾸기

넓이 구하기

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