AMC 10 · 2016 · #13

학년 6 number-theory
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Chained Ratio Linking
ratio-proportionsystems-of-equationslinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: ratio-proportion
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
한 병원에서 쌍둥이(2명), 세쌍둥이(3명), 네쌍둥이(4명) 묶음으로 태어난 아기가 모두 합쳐 1000 명이다. 세쌍둥이 묶음의 수는 네쌍둥이 묶음의 수의 4 배이고, 쌍둥이 묶음의 수는 세쌍둥이 묶음의 수의 3 배이다. 이 1000 명 중 네쌍둥이 묶음에 속한 아기는 몇 명인지 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
25
(B)
40
(C)
64
(D)
100
(E)
160

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

세 개의 미지 수량이 "4배", "3배"로 서로 엮여 있지만, 모두 하나의 못에 걸려 있다: 네쌍둥이 묶음의 수다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 한 수량을 q 라 두면, 나머지 모든 수가 q 에 대한 식이 되어 두 번째 변수가 필요 없다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 "이 묶음들이 아기 1000 명을 이룬다"는 문장을, 쌍둥이 묶음당 2 명, 세쌍둥이 묶음당 3 명, 네쌍둥이 묶음당 4 명으로 세어 하나의 식으로 바꾼다. 풀면 q 가 나오고, 마지막 단계는 도구 #3(가능성 지우기)이 지킨다 — 문제가 묻는 것은 네쌍둥이 묶음의 아기 수이지 q 값 자체가 아니며, q 값은 함정 선택지 (A)이기 때문이다.

1STEP 1

한 수에 이름 붙이고 나머지 세우기

네쌍둥이 묶음=q 라 하면 세쌍둥이=4q, 쌍둥이=3·4q=12q — 세 수가 하나의 미지수로.

네쌍둥이 묶음=q, 세쌍둥이 묶음=4q, 쌍둥이 묶음=3(4q)=12q
2STEP 2

아기 수 세기

쌍둥이 2명, 세쌍둥이 3명, 네쌍둥이 4명이므로 2·12q + 3·4q + 4q = 1000 — 주어진 총합.

2(12q) + 3(4q) + 4q = 1000
3STEP 3

네쌍둥이 묶음의 수 풀기

동류항을 합치면 40q = 1000, 따라서 q = 25, 네쌍둥이 묶음 25개.

24q + 12q + 4q = 40q = 1000 → q = 25
4STEP 4

실제로 물은 것에 답하기

문제는 묶음이 아니라 아기를 원한다: 네쌍둥이 묶음 25개가 각 4명이므로 4·25 = 100 — 정답 (D); 25는 함정 (A).

4q = 4 · 25 = 100 = (D)
정답
100
원래 문장을 q = 25 로 확인한다: 네쌍둥이 묶음 25 개, 세쌍둥이 묶음 4 · 25 = 100 개, 쌍둥이 묶음 3 · 100 = 300 개. 아기 수: 쌍둥이 300 · 2 = 600 명, 세쌍둥이 100 · 3 = 300 명, 네쌍둥이 25 · 4 = 100 명으로 합이 600 + 300 + 100 = 1000 — 주어진 총합과 정확히 같다. 네쌍둥이 아기 100 명은 전체 1000 명의 정확히 1/10 이며, 이는 정답 (D)와 일치해 풀이를 확인해 준다.
💡핵심 정리

모든 미지수를 하나의 수에 묶고, 말을 하나의 식으로 바꾼 다음 — 문제를 다시 읽어 네가 푼 변수가 아니라 문제가 물은 아기 수를 답하라.

  • 한 수에 이름 붙이고 나머지 세우기
  • 아기 수 세기
  • 네쌍둥이 묶음의 수 풀기
  • 실제로 물은 것에 답하기

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