AMC 10 · 2016 · #16

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

sequences-geometricoptimizationquadratic-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: sequences-geometric

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 무한 등비급수의 합이 양수 S이다. 이 급수의 둘째 항은 1이다. S가 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

(B)

(C)

$\sqrt{5}$

(D)

(E)

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 극단의 원리

문제는 가능한 가장 작은 값을 묻는 최소화 문제이므로 극단의 원리가 중심이 된다. 이를 쓰기 위해 첫째 항과 공비를 변수로 두고 두 사실을 식으로 바꾼 뒤, S를 r에 대한 하나의 식으로 정리한다. 그러면 S는 분모에 해당하는 한 값이 가장 클 때 가장 작아지고, 그 최댓값은 쉽게 찾을 수 있다.

1STEP 1

a와 r로 합 쓰기

첫째 항 a, 공비 r이라 하면 무한 등비급수의 합은 a÷(1−r)이고 |r| ＜ 1일 때만 성립한다.

S = a/(1-r), |r| ＜ 1

2STEP 2

둘째 항으로 변수 줄이기

둘째 항은 a에 r을 곱한 것이므로 a r = 1, 즉 a = 1/r이고 대입하면 S = 1/(r − r²)로 변수가 하나 남는다.

a r = 1 → a = 1/r, S = (1/r)/(1-r) = 1/(r - r²)

3STEP 3

가장 작은 S는 가장 큰 분모

S가 양수이려면 분모 r − r²이 양수여야 하므로 0 ＜ r ＜ 1이고, 분자가 고정되면 분모가 클수록 S가 작아진다.

S = 1/(r - r²) 는 r - r² 가 가장 클 때 가장 작다, 0 ＜ r ＜ 1

4STEP 4

분모를 최대로 만들기

완전제곱: r − r² = $\frac{1}{4}$ − (r − $\frac{1}{2}$ )² ≤ $\frac{1}{4}$ , r = $\frac{1}{2}$ 에서 최대이므로 S ≥ 4가 최솟값, 답 (E).

r - r² = 1/4 - (r - 1/2)² ≤ 1/4 → S ≥ 1/1/4 = 4

정답

r =

\frac{1}{2}

를 다시 넣으면 첫째 항 a = 1/r = 2, 둘째 항 = 2 *

\frac{1}{2}

= 1로 조건을 만족하고, 합은 2 / (1 -

\frac{1}{2}

) = 4이다. 0과 1 사이의 다른 허용된 r은 r - r²을

\frac{1}{4}

보다 작게 만들어 S를 4보다 크게 하므로, 4가 진짜 최솟값이며 답 (E)와 일치한다.

💡핵심 정리

분수를 가장 작게 만들려면 분모를 가장 크게 만들어라.

a와 r로 합 쓰기
둘째 항으로 변수 줄이기
가장 작은 S는 가장 큰 분모
분모를 최대로 만들기

a와 r로 합 쓰기

둘째 항으로 변수 줄이기

가장 작은 S는 가장 큰 분모

분모를 최대로 만들기

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