AMC 10 · 2016 · #16
학년 8 arithmetic sequences-geometricoptimizationquadratic-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: sequences-geometric
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
어떤 무한 등비급수의 합이 양수 S이다. 이 급수의 둘째 항은 1이다. S가 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
(B)
2
(C)
$\sqrt{5}$
(D)
3
(E)
4
AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 극단의 원리
문제는 가능한 가장 작은 값을 묻는 최소화 문제이므로 극단의 원리가 중심이 된다. 이를 쓰기 위해 첫째 항과 공비를 변수로 두고 두 사실을 식으로 바꾼 뒤, S를 r에 대한 하나의 식으로 정리한다. 그러면 S는 분모에 해당하는 한 값이 가장 클 때 가장 작아지고, 그 최댓값은 쉽게 찾을 수 있다.
1STEP 1
a와 r로 합 쓰기
첫째 항 a, 공비 r이라 하면 무한 등비급수의 합은 a÷(1−r)이고 |r| ＜ 1일 때만 성립한다.
S = a/(1-r), |r| ＜ 1
급수를 정하는 두 수에 이름을 붙이면 모든 사실이 식이 된다.
6.EE.B.6Use Matrix Logic2STEP 2
둘째 항으로 변수 줄이기
둘째 항은 a에 r을 곱한 것이므로 a r = 1, 즉 a = 1/r이고 대입하면 S = 1/(r − r²)로 변수가 하나 남는다.
a r = 1 → a = 1/r, S = (1/r)/(1-r) = 1/(r - r²)
주어진 사실 하나가 미지수 하나를 없애므로 문제 전체가 변수 하나로 줄어든다.
7.EE.A.2Convert To Algebra3STEP 3
가장 작은 S는 가장 큰 분모
S가 양수이려면 분모 r − r²이 양수여야 하므로 0 ＜ r ＜ 1이고, 분자가 고정되면 분모가 클수록 S가 작아진다.
S = 1/(r - r²) 는 r - r² 가 가장 클 때 가장 작다, 0 ＜ r ＜ 1
분수의 바닥을 반대 방향으로 밀면 분수 전체가 극단으로 밀린다.
8.F.B.5Evaluate Finite Differences4STEP 4
분모를 최대로 만들기
완전제곱: r − r² = 1/4 − (r − 1/2)² ≤ 1/4, r = 1/2에서 최대이므로 S ≥ 4가 최솟값, 답 (E).
r - r² = 1/4 - (r - 1/2)² ≤ 1/4 → S ≥ 1/(1/4) = 4
제곱 빼기 상수의 꼴로 바꾸면 최댓값이 한눈에 보인다. 제곱은 더하거나 0에 머무를 뿐이기 때문이다.
7.EE.A.2Convert To Algebra정답
4
r = 1/2를 다시 넣으면 첫째 항 a = 1/r = 2, 둘째 항 = 2 * 1/2 = 1로 조건을 만족하고, 합은 2 / (1 - 1/2) = 4이다. 0과 1 사이의 다른 허용된 r은 r - r²을 1/4보다 작게 만들어 S를 4보다 크게 하므로, 4가 진짜 최솟값이며 답 (E)와 일치한다.
💡핵심 정리
분수를 가장 작게 만들려면 분모를 가장 크게 만들어라.
- a와 r로 합 쓰기
- 둘째 항으로 변수 줄이기
- 가장 작은 S는 가장 큰 분모
- 분모를 최대로 만들기