AMC 10 · 2016 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

coordinate-geometryslope-interceptpythagorean-theorem convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

가로 5, 세로 4인 직사각형 ABCD에 세 점이 표시되어 있다. E는 AB 위에서 EB=1, G는 BC 위에서 CG=1, F는 CD 위에서 DF=2를 만족한다. 대각선 AC와 선분 AG가 모두 선분 EF를 지나며, 그 교점이 각각 P와 Q이다. PQ가 EF의 몇 분의 몇을 차지하는지 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$~\frac{\sqrt{13}}{16}$

(B)

$~\frac{\sqrt{2}}{13}$

(C)

$~\frac{9}{82}$

(D)

$~\frac{10}{91}$

(E)

$~\frac19$

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도형에 이름 붙은 점과 교차하는 선분이 많으므로, 직사각형 전체를 좌표 격자 위에 올리는 것이 가장 깔끔하다. 모든 점에 숫자가 생기면 각 선분은 방정식이 되고, 두 선분의 교점을 찾는 일은 두 방정식을 함께 푸는 일이 된다. 그러면 큰 질문 PQ/EF는 P 찾기, Q 찾기, 길이 재기라는 작은 문제들로 나뉜다.

1STEP 1

직사각형을 격자 위에 올리기

D를 원점에 두면 A=(0,4), C=(5,0)이고, 세 표시점은 E=(4,4), F=(2,0), G=(5,1)이 된다.

A=(0,4), B=(5,4), C=(5,0), D=(0,0), E=(4,4), G=(5,1), F=(2,0)

2STEP 2

E와 F를 지나는 직선 구하기

F=(2,0)에서 E=(4,4)까지 기울기는 2이므로 직선 EF는 y=2x-4이고, P와 Q도 이 식을 만족한다.

기울기_EF=(4-0)/(4-2)=2, y=2x-4

3STEP 3

AC와 EF가 만나는 P 찾기

직선 AC는 y=4-(4/5)x이고, y=2x-4와 같다고 놓으면 x=20/7, 따라서 P=(20/7, 12/7)이다.

4-4/5x=2x-4 → 14/5x=8 → x=20/7, P=(20/7,12/7)

4STEP 4

AG와 EF가 만나는 Q 찾기

직선 AG는 y=4-(3/5)x이고, y=2x-4와 같다고 놓으면 x=40/13, 따라서 Q=(40/13, 28/13)이다.

4-3/5x=2x-4 → 13/5x=8 → x=40/13, Q=(40/13,28/13)

5STEP 5

PQ와 EF를 재서 나누기

PQ=(20/91)√5, EF=2√5가 한 직선 위라 √5가 약분되어 PQ/EF=(20/91)√5 ÷ 2√5=10/91이다.

PQ/EF=20/91√5/2√5=10/91

정답

~10/91

수치로 보면 PQ≈0.49, EF≈4.47이라 비는 약 0.11이고, 이는 10/91≈0.110과 맞는다. PQ는 EF 가운데의 작은 조각이므로 1/8보다 작은 분수가 자연스럽다. 분모 91=7·13은 P를 구할 때(7)와 Q를 구할 때(13) 나온 두 분모의 곱과 정확히 같아 계산 실수가 없었음을 확인해 준다.

💡핵심 정리

그림 전체를 격자 위에 올리고 각 직선을 방정식으로 바꾸면, 교점은 두 방정식이 일치하는 곳일 뿐이다.

직사각형을 격자 위에 올리기
E와 F를 지나는 직선 구하기
AC와 EF가 만나는 P 찾기
AG와 EF가 만나는 Q 찾기
PQ와 EF를 재서 나누기

직사각형을 격자 위에 올리기

E와 F를 지나는 직선 구하기

AC와 EF가 만나는 P 찾기

AG와 EF가 만나는 Q 찾기

PQ와 EF를 재서 나누기

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