AMC 10 · 2016 · #20

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
dilationcoordinate-geometryratio-proportion convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometry
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
한 닮음변환(양의 비율을 갖는 크기 변환)이 중심 A(2,2), 반지름 2인 원을 중심 A'(5,6), 반지름 3인 원으로 보낸다. 이 변환은 원점 O(0,0)을 포함한 평면의 모든 점을 옮긴다. 원점이 그 상으로 얼마나 멀리 이동하는지 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
3
(C)
$\sqrt{13}$
(D)
4
(E)
5

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

닮음변환은 정확히 두 가지 사실로 결정된다. 바로 비율과 중심이다. 비율은 그냥 반지름의 비 3/2로 곧바로 알 수 있다. 중심은 숨어 있으므로 도구 #4(변수 도입하기)로 이를 C(h,j)라 이름 붙이고, 추적할 수 있는 유일한 점 A→ A'를 써서 h와 j에 대한 식을 세운다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 "상의 점에서 중심을 뺀 것은 비율에 (원래 점에서 중심을 뺀 것)을 곱한 것과 같다"는 기하 규칙을 일차식으로 옮긴다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 작업 순서를 지킨다: 먼저 비율, 다음에 중심, 그다음 원점의 상, 마지막으로 거리. 도구 #1(그림 그리기)은 점들이 어느 쪽에 놓이는지를 잡아 주어 대수 계산이 믿을 만하게 유지되도록 한다.

1STEP 1

비율을 읽어내기

닮음변환은 모든 길이에 한 비율 k를 곱하므로, 반지름만으로 k = 3/2임이 드러난다.

k = (새 반지름)/(옛 반지름) = 3/2
2STEP 2

중심에 이름을 붙이고 식 세우기

중심을 C(h,j)라 하자. 닮음변환은 P' - C = k(P - C)를 따른다; 이를 A(2,2)→A'(5,6)에 x·y로 적용한다.

5 - h = 3/2(2 - h), 6 - j = 3/2(2 - j)
3STEP 3

중심을 구하기

각 식을 전개하면 한 변수만 남아 h = -4, j = -6이 나오고, 중심은 C(-4,-6)이다.

h = -4, j = -6 → C(-4,-6)
4STEP 4

원점을 닮음변환에 통과시키기

규칙 O' = C + k(O - C)를 원점에 적용: 중심→원점 (4,6)에 3/2배로 (6,9), 중심을 더해 O'(2,3).

O' = (-4,-6) + 3/2(4,6) = (-4,-6) + (6,9) = (2,3)
5STEP 5

원점이 이동한 거리 재기

원점은 O(0,0)에서 O'(2,3)으로 갔으니, 거리 공식으로 OO' = √(2² + 3²) = √(13), 선택지 (C).

OO' = √((2-0)² + (3-0)²) = √(4+9) = √(13) = (C)
정답
√(13)
중심이 실제로 아는 쌍에서 맞는지 확인한다: A' = C + k(A - C) = (-4,-6) + 3/2((2,2)-(-4,-6)) = (-4,-6) + 3/2(6,8) = (-4,-6) + (9,12) = (5,6) — 주어진 A'와 정확히 일치하므로 비율과 중심이 모순 없이 맞다. 답 √(13) ≈ 3.6은 3과 4 사이에 놓이는데, 둘 다 함정 선택지이며, 깔끔한 무리수로 선택지 (C)에 맞는다. 원점이 적당히 몇 단위만 이동하는 것은 원점이 닮음변환의 중심에서 멀지 않기 때문에 타당하다.
💡핵심 정리

닮음변환은 결국 중심 하나에 늘림 비율 하나일 뿐이다: 아는 한 쌍의 점에서 둘 다 알아낸 뒤, 원점을 같은 늘림에 통과시키고 그 간격을 재면 된다.

  • 비율을 읽어내기
  • 중심에 이름을 붙이고 식 세우기
  • 중심을 구하기
  • 원점을 닮음변환에 통과시키기
  • 원점이 이동한 거리 재기

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