AMC 10 · 2016 · #21

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid
absolute-valuecoordinate-geometryarea-circlessymmetry-argument completing-the-squarecasework ↑ 선수 지식: coordinate-geometry
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
x²+y²=|x|+|y| 를 만족하는 모든 점 (x,y) 를 살펴보자. 이 점들은 하나의 닫힌 곡선을 그린다. 이 곡선이 둘러싸는 영역의 넓이를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\pi+\sqrt{2}$
(B)
$\pi+2$
(C)
$\pi+2\sqrt{2}$
(D)
$2\pi+\sqrt{2}$
(E)
$2\pi+2\sqrt{2}$

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

절댓값이 곡선을 무섭게 보이게 하지만, 사실은 대칭을 담고 있을 뿐이다. x→-x 나 y→-y 로 바꿔도 식이 그대로이므로 전체 그림은 한 사분면을 네 번 거울처럼 복사한 것이다 (도구 #1). 그래서 한 사분면만 풀면 나머지는 그대로 재사용할 수 있다. 제1사분면에서는 절댓값이 사라져 이차식이 되고, 완전제곱식으로 정리하면 (도구 #4) 익숙한 원이 드러난다. 모양이 보이면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 둘러싸인 영역을 쉬운 조각 — 가운데 정사각형 하나와 네 개의 반원 모자 — 으로 나누어 넓이를 더한다.

1STEP 1

대칭을 이용해 한 사분면만 보기

식은 |x| 와 |y| 만 보므로 곡선은 두 축에 대해 대칭이다. 한 사분면만 풀면 되고, 거기서 식은 x²+y²=x+y 가 된다.

x ≥ 0, y ≥ 0: x²+y²=x+y
2STEP 2

완전제곱식으로 원 만들기

완전제곱을 만들면 x²-x+y²-y=0 은 중심 (1/2,1/2), 반지름 √2/2 인 원이 된다.

(x-1/2)²+(y-1/2)²=1/2
3STEP 3

축 위의 점을 지나는 지름 찾기

원은 (0,0), (1,0), (0,1) 을 지난다. 현 (1,0)-(0,1) 의 길이는 √2 로 지름과 같으므로 먼 쪽 호는 반원이다.

dist((1,0),(0,1))=√2 = 2r
4STEP 4

가운데 정사각형 만들기

축 위 네 점은 45° 기울어진 정사각형을 이루고, 대각선이 모두 2 라서 넓이 2 이다. 영역은 이 정사각형에 네 모자를 더한 것.

정사각형 넓이=1/2 d₁ d₂=1/2·2·2=2
5STEP 5

네 개의 반원 모자 더하기

각 변은 반지름 √2/2 인 반원(넓이 π/4)의 지름이고, 네 개면 π 라서 전체 넓이는 2+π, 정답은 (B) 이다.

2+4·1/2π(√2/2)²=2+π=π+2=(B)
정답
π+2
수치로 보면 π+2≈5.14 이다. 각 사분면 원의 넓이는 π r²=π·1/2=π/2≈1.57 이므로 네 원판을 따로 더하면 2π≈6.28 이 된다. 둘러싸인 영역은 원판들이 원점 근처에서 겹치므로 그보다 작아야 하고, 5.14 ＜ 6.28 로 들어맞는다. 정답은 또한 가장 작은 선택지 π+√2≈4.56 과 더 큰 2π 계열 선택지 사이, 적당히 겹친 합집합이 놓일 바로 그 위치에 있으며 선택지 (B) 와 일치한다.
💡핵심 정리

절댓값을 걷어내면 거울로 비친 원 네 개가 보이고, 그 모양을 기울어진 정사각형 하나와 반원 모자 네 개로 다시 쌓으면 2+π 이다.

  • 대칭을 이용해 한 사분면만 보기
  • 완전제곱식으로 원 만들기
  • 축 위의 점을 지나는 지름 찾기
  • 가운데 정사각형 만들기
  • 네 개의 반원 모자 더하기

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