AMC 10 · 2016 · #23

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
area-regular-hexagonequal-spacingratio-proportion convert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-regular-hexagon
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
정육각형 ABCDEF 안에서 같은 방향으로 평행하고 간격이 일정한 네 직선이 있다: 변 AB, 선분 ZW, 선분 YX, 변 ED. 점 W,X,Y,Z 는 각각 변 BC,CD,EF,FA 위에 있다. 평행하고 간격이 같은 이 네 선은 육각형을 높이가 같은 가로 띠 세 개로 자른다. 가운데 육각형 WCXYFZ 의 넓이가 육각형 전체 넓이의 몇 분의 몇인지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{3}$
(B)
$\frac{10}{27}$
(C)
$\frac{11}{27}$
(D)
$\frac{4}{9}$
(E)
$\frac{13}{27}$

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

여기서는 그림이 핵심이다 (도구 #1). AB 를 위에, ED 를 아래에 놓고 육각형을 그리면 네 평행선이 가로로 자르는 선으로 보이고 WCXYFZ 가 가운데 띠임이 드러난다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)으로 전체 넓이, 자르는 선의 위치, ZW 와 YX 의 길이, 잘려 나간 넓이로 일을 깔끔하게 나눈다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 변의 길이를 1 로 정해 모든 길이를 구체적인 수로 만든다. 마무리는 도구 #16 (관점 바꾸기)이 가장 깔끔하다: 비뚤어진 가운데 육각형을 직접 재는 대신, 위아래에서 잘려 나간 간단한 사다리꼴 두 개를 구해 전체에서 빼면 된다.

1STEP 1

변 =1, 전체 넓이

비만 중요하니 각 변을 1 로 두자. 넓이 √3/4 인 정삼각형 6 개로 육각형 전체 넓이는 3√3/2 이다.

[ABCDEF]=6·√3/4=3√3/2
2STEP 2

띠의 높이 구하기

마주 보는 변 AB 와 ED 는 √3 (변심거리 두 배) 떨어져 있어, 같은 세 띠의 높이는 각각 √3/3 이다.

높이=2·√3/2=√3, 각 띠=√3/3
3STEP 3

ZW 와 YX 의 길이

폭은 AB 에서의 1 에서 가운데 2 까지 정비례로 늘고, ZW 는 2/3 지점이라 ZW=5/3=YX 이다.

ZW=1+2/3(2-1)=5/3=YX
4STEP 4

위아래에서 잘려 나간 넓이

바깥쪽 각 띠는 밑변 1 과 5/3, 높이 √3/3 인 사다리꼴로 넓이 4√3/9 이니, 둘의 합은 8√3/9 이다.

2·[1/2(1+5/3)√3/3]=2·4√3/9=8√3/9
5STEP 5

빼서 비 구하기

빼면 3√3/2-8√3/9=11√3/18 이고, 전체 27√3/18 로 나누면 약분되어 비는 11/27, 답은 (C) 이다.

[WCXYFZ]/[ABCDEF]=11√3/18/27√3/18=11/27=(C)
정답
11/27
가운데 띠는 세 띠 중 가장 넓은 띠이므로 (육각형의 두툼한 가운데를 감싼다) 전체의 1/3 보다는 많지만 아주 많지는 않아야 한다. 결과 11/27≈0.407 은 1/3≈0.333 바로 위라 잘 맞는다. 잘린 조각을 점검하면, 각 사다리꼴은 4√3/9=8√3/18 이고 둘에 답을 더하면 16√3/18+11√3/18=27√3/18=3√3/2 로 전체 육각형과 같으니 잃은 넓이가 없다. 보기 (A) 1/3 은 높이가 같은 세 띠의 넓이가 같다고 잘못 가정한 사람을 노린 함정이다.
💡핵심 정리

육각형을 높이가 같은 띠로 잘라도 넓이는 같지 않다: 쉬운 바깥쪽 사다리꼴 둘을 잘라내면 가운데 판이 전체의 11/27 로 남는다.

  • 변 =1, 전체 넓이
  • 띠의 높이 구하기
  • ZW 와 YX 의 길이
  • 위아래에서 잘려 나간 넓이
  • 빼서 비 구하기

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