AMC 10 · 2016 · #9

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates
coordinate-geometryarea-trianglessymmetry-argument convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
삼각형 ABC의 세 꼭짓점이 모두 포물선 y = x² 위에 있다. 꼭짓점 A는 원점에 있고, 변 BC는 x축과 평행하다. 삼각형의 넓이가 64일 때, BC의 길이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
4
(B)
6
(C)
8
(D)
10
(E)
16

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

포물선 y = x²은 y축을 기준으로 한 거울상이다. 즉 점 (x, x²)이 포물선 위에 있으면 (-x, x²)도 위에 있다. BC가 가로 방향이라 B와 C는 같은 높이에 있으므로, 둘은 바로 그 거울 짝일 수밖에 없다. 도구 #1(그림 그리기)로 이 대칭을 눈에 보이게 하고, 도구 #4(변수 도입하기)로 반쪽 너비를 a라 두면 밑변과 높이가 모두 a에 대한 간단한 식이 된다. 그러면 넓이 조건은 미지수가 하나인 방정식 하나가 된다.

1STEP 1

대칭으로 B와 C 놓기

BC가 가로라 B, C는 같은 높이; y = x²에선 부호 반대뿐이라 B = (-a, a²), C = (a, a²)이다.

B = (-a, a²), C = (a, a²)
2STEP 2

밑변과 높이 읽어내기

밑변은 x = -a부터 a까지라 BC = 2a; A는 높이 0, BC는 높이 a²에 있어 삼각형 높이는 a²이다.

BC = 2a, 높이 = a²
3STEP 3

넓이 방정식 세우기

넓이는 밑변×높이÷2: ½·(2a)·a²을 정리하면 a³ = 64, 미지수 하나인 방정식이다.

1/2 · (2a) · a² = a³ = 64
4STEP 4

풀어서 BC 구하기

a³ = 64의 세제곱근으로 a = 4, 따라서 BC = 2a = 8이고 정답은 (C)이다.

a = sqrt[3]{64} = 4 → BC = 2a = 8 = (C)
정답
8
다시 대입해 확인한다. a = 4이면 점은 B = (-4, 16), C = (4, 16)이고, (± 4)² = 16이므로 둘 다 y = x² 위에 있다. 밑변은 8, 높이는 16, 넓이는 1/2 · 8 · 16 = 64로 조건과 정확히 맞는다. 따라서 BC = 8은 (C)와 일치한다.
💡핵심 정리

포물선은 거울이라 같은 높이의 두 점은 ± a에 있고, 그러면 넓이는 그냥 a³이니 세제곱근으로 끝낸다.

  • 대칭으로 B와 C 놓기
  • 밑변과 높이 읽어내기
  • 넓이 방정식 세우기
  • 풀어서 BC 구하기

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