AMC 10 · 2017 · #10

학년 7 geometry-2d
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search
polygon-inequalityinterval-arithmetic bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: polygon-inequality
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
길이 3, 7, 15 cm인 막대 세 개가 탁자에 놓여 있습니다. 남은 막대들(1부터 30까지 각 정수 길이가 하나씩 있으나 3, 7, 15는 제외) 중에서, 네 막대로 양의 넓이를 가지는 사각형을 만들 수 있는 네 번째 막대 길이는 몇 가지입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
16
(B)
17
(C)
18
(D)
19
(E)
20

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 극단의 원리

네 길이가 양의 넓이를 가지는 사각형으로 닫히는 것은, 한 변이 너무 길어 나머지 세 변이 그 둘레를 감싸지 못하는 일이 없을 때입니다 — 삼각형 부등식과 같은 생각이지만 네 변에 적용한 것으로, 각 변은 나머지 세 변의 합보다 짧아야 합니다. 이 규칙을 깰 수 있는 변은 가장 긴 변뿐이므로, 도구 #14 (극단의 원리)는 두 경계 경우를 살펴보라고 알려 줍니다 — 네 번째 막대가 가장 긴 변일 때와, 고정된 15 막대가 가장 긴 변일 때입니다. 도구 #4 (변수 도입하기)는 모르는 네 번째 길이를 x로 이름 붙여 그 경계 조건을 부등식으로 쓰게 하고, 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)는 이미 쓰는 막대를 뺀 뒤 살아남는 정수 길이를 셉니다.

1STEP 1

막대에 이름 붙이고 규칙 세우기

네 번째 막대를 x라 하자. 네 변은 각 변이 나머지 세 변의 합보다 짧을 때만 양의 넓이 사각형으로 닫힌다.

변 3, 7, 15, x → 각 변 ＜ 나머지 세 변의 합
2STEP 2

경계 1: 새 막대가 가장 길 때

x가 가장 긴 변이면 x는 3+7+15=25보다 작아야 한다. x=25에서는 나머지 셋이 일직선(넓이 0)이므로 x ＜ 25.

x ＜ 3+7+15 = 25
3STEP 3

경계 2: 고정된 15 막대가 가장 길 때

x가 짧으면 15가 가장 길어 3+7+x보다 작아야 하므로 x ＞ 5. x=5에서는 3,7,5가 15로 합쳐져 일직선이다.

15 ＜ 3 + 7 + x → x ＞ 5
4STEP 4

살아남는 길이 세기

합치면 5 ＜ x ＜ 25이므로 x는 6부터 24까지 19개. 이미 쓰는 7과 15를 빼면 17 → (B).

{6,7,…,24} : 24-6+1=19, 19-2=17 → (B)
정답
17
범위 5 ＜ x ＜ 25는 타당합니다: 너무 길어 닫히지 않는 막대( ≥ 25)와 너무 짧아 15를 감싸지 못하는 막대( ≤ 5)를 모두 막습니다. 6부터 24까지 세면 19개이고, 이미 쓰는 두 막대(7과 15)를 빼면 17로 선택지 (B)와 일치합니다. 양 끝을 빠르게 확인하면, x=6은 됩니다(15 ＜ 3+7+6=16), x=24도 됩니다(24 ＜ 25), 반면 x=5와 x=25는 둘 다 넓이가 0으로 무너집니다.
💡핵심 정리

네 변은 어떤 변도 나머지 세 변을 합친 것보다 길지 않을 때만 진짜 도형으로 닫힙니다 — 그러니 가장 긴 변의 한계를 찾고, 그 사이의 길이를 세세요.

  • 막대에 이름 붙이고 규칙 세우기
  • 경계 1: 새 막대가 가장 길 때
  • 경계 2: 고정된 15 막대가 가장 길 때
  • 살아남는 길이 세기

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