AMC 10 · 2017 · #11

학년 8 geometry-3d

유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Sum of Primitive Solids

volume-cylindervolume-spherespatial-visualization spatial-visualizationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: volume-cylinder

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

곧은 선분 AB를 두고, 그 선분에서 3 단위 이내에 있는 공간의 모든 점을 색칠합니다. 이렇게 칠한 입체의 부피가 216π입니다. 선분 AB의 길이는 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 공간 상상하기

이 문제는 모양을 보는 것이 핵심이므로 도구 #17 (공간 상상하기)을 먼저 씁니다: 곧은 선분에서 3 이내에 있는 점들은 가운데를 감싸는 관(원기둥)을 이루고, 양 끝은 둥근 돔(반구)으로 덮입니다. 그림이 분명해지면 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 부피를 이미 공식이 있는 조각들로 나눕니다 — 원기둥 하나와 양 끝의 돔 두 개인데, 돔 둘은 합쳐서 반지름 3인 온전한 구 하나가 됩니다. 도구 #4 (변수 도입하기)는 모르는 길이를 L로 이름 붙여 전체 부피를 9π L + 36π = 216π 식으로 바꾸고, L을 풉니다.

1STEP 1

입체를 그려보기

선분에서 3 이내의 점은 반지름 3인 원기둥이 되고, 양 끝은 반지름 3인 반구 덮개로 막힙니다.

입체 = (원기둥, 반지름 3) + (반구 덮개 두 개, 반지름 3)

2STEP 2

두 덮개를 구 하나로 합치기

반지름 3인 반구 덮개 둘은 온전한 공 하나가 되어, 구의 부피 $\frac{4}{3}$ ·π·3³ = 36π입니다.

2·1/2·4/3π r³ = 4/3π(3)³ = 36π

3STEP 3

원기둥 부피를 변수로 쓰기

AB의 길이 L은 원기둥의 높이이고, 부피는 π·3²·L = 9πL이므로 전체는 9πL + 36π입니다.

V_원기둥 = π(3)² L = 9π L, V_전체 = 9π L + 36π

4STEP 4

부피를 같다고 놓고 풀기

9πL + 36π = 216π에서 π를 나누면 9L + 36 = 216, 곧 9L = 180이니 L = 20 — 답은 (D).

9π L + 36π = 216π → 9L + 36 = 216 → 9L = 180 → L = 20 → (D)

정답

L=20을 다시 넣어 확인합니다: 원기둥은 9π(20)=180π, 두 덮개는 36π, 합치면 180π+36π=216π로 주어진 부피와 정확히 같습니다. 답도 타당합니다: 덮개만으로는 216π 중 36π뿐이므로 입체의 대부분은 긴 관이고, 이는 반지름보다 훨씬 큰 길이와 맞아떨어집니다. 길이 20은 선택지 (D)입니다.

💡핵심 정리

선분에서 일정 거리 이내의 모든 점은 양 끝에 돔이 달린 관이 됩니다 — 원기둥과 두 덮개(온전한 구 하나)를 더한 뒤 길이를 구하세요.

입체를 그려보기
두 덮개를 구 하나로 합치기
원기둥 부피를 변수로 쓰기
부피를 같다고 놓고 풀기

입체를 그려보기

두 덮개를 구 하나로 합치기

원기둥 부피를 변수로 쓰기

부피를 같다고 놓고 풀기

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