AMC 10 · 2017 · #12

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area
coordinate-geometrylinear-equations-two-varinterval-arithmetic caseworkspatial-visualization ↑ 선수 지식: coordinate-geometry
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
세 양 3, x+2, y-4를 보자. 점 (x,y)는 이 세 양 중 두 개가 서로 같고, 나머지 하나가 그 공통값보다 작거나 같을 때 집합 S에 속한다. 이런 점 (x,y)들이 평면에서 이루는 도형을 설명하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
a single point
(B)
two intersecting lines
(C)
three lines whose pairwise intersections are three distinct points
(D)
a triangle
(E)
three rays with a common endpoint

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

"세 양 중 두 개가 같다"는 말 속에는 어느 두 개가 같은 쌍인지에 따라 세 가지 가능성이 숨어 있다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 이 질문을 세 개의 깔끔한 경우로 나눈다. 각 경우에서 같은 두 양을 같다고 놓으면 직선 방정식 하나가 나오고, "세 번째 양이 공통값보다 크지 않다"는 조건이 부등식 하나를 더해 그 직선을 반직선으로 잘라낸다. 도구 #4(변수 도입하기)로 3, x+2, y-4를 이름 붙인 양으로 다루어 각 방정식과 부등식을 쓰고, 도구 #1(그림 그리기)로 세 조각이 어디에 놓이는지 본다 — 핵심은 그 조각들이 끝점을 공유하는지이다.

1STEP 1

같은 쌍에 따라 세 경우로 나누기

A=3, B=x+2, C=y-4로 두면 "둘이 같다"는 A=B, A=C, B=C 세 경우, 각각 남은 양이 공통값 이하.

A=3, B=x+2, C=y-4; 경우: A=B, A=C, B=C
2STEP 2

경우 A=B: 수직 반직선

3=x+2로 x=1; y-4 ≤ 3에서 y ≤ 7. 수직선 x=1의 아래 부분만 남는, (1,7)에서 아래로 뻗는 반직선.

x=1, y-4 ≤ 3 → y ≤ 7 → (1,7)에서 아래로 가는 반직선
3STEP 3

경우 A=C: 수평 반직선

3=y-4로 y=7; x+2 ≤ 3에서 x ≤ 1. 수평선 y=7의 왼쪽 부분만 남는, (1,7)에서 왼쪽으로 뻗는 반직선.

y=7, x+2 ≤ 3 → x ≤ 1 → (1,7)에서 왼쪽으로 가는 반직선
4STEP 4

경우 B=C: 비스듬한 반직선

x+2=y-4, 즉 y=x+6; 3 ≤ x+2에서 x ≥ 1. 비스듬한 직선 중 x ≥ 1만 남는, (1,7)에서 오른쪽 위로 뻗는 반직선.

x+2=y-4 → y=x+6, 3 ≤ x+2 → x ≥ 1 → (1,7)에서 시작하는 반직선
5STEP 5

세 반직선을 합치기

세 조각 모두 (1,7)를 끝점으로 공유하는 반직선 — 아래, 왼쪽, 오른쪽 위. 공통 끝점을 가진 세 반직선은 (E).

끝점이 모두 (1,7)인 세 반직선 → (E)
정답
three rays with a common endpoint
각 경우는 부등식 하나로 잘린 직선 방정식을 만들었으므로 각 조각은 완전한 직선도 유한한 선분도 아닌 반직선이어야 한다 — 이것만으로 선택지 (B), (C), (D)가 배제된다. 공유 모서리를 확인하면, x=1,y=7을 넣으면 세 양이 3, 3, 3으로 모두 같으므로 (1,7)은 세 반직선 모두 위에 있고 그들의 공통 끝점이다. 세 반직선은 그 모서리에서 서로 다른 세 방향(아래, 왼쪽, 오른쪽 위)으로 겹치지 않고 떠나므로 S는 한 점도 아니다. 한 공통 끝점을 가진 세 반직선은 (E)에 들어맞는다.
💡핵심 정리

"셋 중 둘이 같다"면 쌍을 하나씩 다 시도해 보자 — 여기서는 각 쌍이 직선을 만들고 남은 조건이 그것을 반직선으로 잘라, 세 반직선이 모두 같은 모서리 (1,7)를 축으로 모인다.

  • 같은 쌍에 따라 세 경우로 나누기
  • 경우 A=B: 수직 반직선
  • 경우 A=C: 수평 반직선
  • 경우 B=C: 비스듬한 반직선
  • 세 반직선을 합치기

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