AMC 10 · 2017 · #13

학년 4 number-theory

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Position-in-Cycle Lookup

modular-arithmeticrecursive-sequencepattern-recognition pattern-recognition ↑ 선수 지식: recursive-sequence

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

수열이 F₀=0, F₁=1로 시작하고, 그 다음부터 각 항 F_n은 F_n-1+F_n-2를 3으로 나눈 나머지여서 0,1,1,2,0,2,…로 시작합니다. 연속한 여덟 항의 합 F₂017+F₂018+F₂019+F₂020+F₂021+F₂022+F₂023+F₂024의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

모든 항이 3으로 나눈 나머지일 뿐이라 각 항은 0, 1, 2 중 하나 — 아주 작은 집합 — 이므로 수열은 반드시 반복됩니다. 도구 #5 (패턴 찾기)는 시작하는 쌍이 다시 나올 때까지 항을 적어 보라고 알려 주고, 그러면 반복되는 묶음과 그 길이가 드러납니다. 주기를 알고 나면 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)로 불가능해 보이는 F₂017부터 F₂024까지의 항들을 평범한 한 주기로 바꿀 수 있습니다: 길이 8짜리 반복에서 연속한 여덟 항은 정확히 한 바퀴이므로, 멀리 있는 합은 반복 묶음 하나의 합과 같습니다.

1STEP 1

쌍이 반복될 때까지 나열하기

앞 두 항을 더해 3으로 나눈 나머지만 남기면 {0,1,2}에 머뭅니다: F₀–F₉ = 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1.

F₀,…,F₉ = 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1

2STEP 2

8개짜리 반복 묶음 찾기

F₈=0, F₉=1이 시작 쌍 F₀=0, F₁=1을 반복하므로 0,1,1,2,0,2,2,1이 주기 8로 순환합니다.

주기 8: 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1

3STEP 3

연속한 여덟 항은 한 주기를 이룬다

패턴이 8항마다 반복되므로 연속한 8항은 어디서 시작하든 정확히 한 완전한 주기를 덮습니다 — 2017 = 8×252 + 1.

2017 = 8× 252 + 1

4STEP 4

한 주기를 더하기

한 주기 전체의 합은 0+1+1+2+0+2+2+1=9이므로 답은 (D)입니다.

0+1+1+2+0+2+2+1 = 9 → (D)

정답

모든 항이 0, 1, 2이므로 여덟 항의 합은 많아야 8× 2=16, 적어야 0입니다; 결과 9는 선택지 범위 6부터 10 안에 편안히 들어갑니다. 주기 합 0+1+1+2+0+2+2+1=9가 (D)와 일치합니다. 번호 2017–2024가 연속한 여덟이므로 시작점이 어디든 상관없으며, F₀–F₇까지 내려도 똑같이 9입니다.

💡핵심 정리

수열이 반복될 때는 한 주기만큼의 항이 항상 같은 합을 이루므로, 주기 길이를 찾고 한 주기만 더하면 됩니다.

쌍이 반복될 때까지 나열하기
8개짜리 반복 묶음 찾기
연속한 여덟 항은 한 주기를 이룬다
한 주기를 더하기

쌍이 반복될 때까지 나열하기

8개짜리 반복 묶음 찾기

연속한 여덟 항은 한 주기를 이룬다

한 주기를 더하기

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