AMC 10 · 2017 · #17
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
비는 분자가 최대한 크고 분모가 최대한 작을 때 가장 커진다. 따라서 이것은 경계(극단) 문제다: PQ를 최대로, RS를 최소로 따로 만든다. 먼저 원 위의 모든 격자점을 나열하고(작고 유한한 집합), 두 길이가 모두 무리수가 되도록 유지하면서 각 현을 극단으로 밀어붙인다.
격자점 나열하기
정수 범위에서 x² + y² = 25를 풀고, (0,5), (3,4), (4,3)에 부호를 모두 허용하면 열두 개의 점이 나온다.
이렇게 작은 원 위의 격자점은 몇 개 안 되므로 전부 적어볼 수 있다.
6.NS.C.8Make A Systematic List현은 언제 무리수인가
현의 길이는 좌표 차이 제곱의 합의 제곱근이며, 그 합이 완전제곱수가 아닐 때만 무리수이다.
자연수의 제곱근은 그 수가 완전제곱수가 아닌 한 무리수이다.
8.G.B.8Draw A DiagramRS를 최대한 작게 만들기
(3, 4)와 (4, 3) 같은 이웃 점들이 가장 촘촘한 간격을 주므로, 최소 무리수 현은 RS = √2이다.
원 위의 이웃한 격자점은 각 좌표에서 한 칸씩만 떨어져 있어 가장 촘촘한 간격이다.
8.G.B.8Evaluate Finite DifferencesPQ를 최대한 크게 만들기
지름(10)은 유리수이므로, 가장 긴 무리수 현은 (-3, 4)와 (4, -3)처럼 거의 반대편 점들을 잇는 PQ = 7√2이다.
지름은 유리수라 건너뛰고, 그 바로 아래 길이의 현이 최선이다.
8.G.B.8Evaluate Finite Differences비 만들기
짝이 맞는 √2가 약분되어 PQ/RS = 7이 되고, 네 점이 서로 다르므로 이 비는 실제로 가능하다 — 답은 (D).
두 길이가 모두 sqrt(2)를 품고 있어 무리수 부분이 나누어 떨어지고 자연수만 남는다.
8.NS.A.2Evaluate Finite Differences비를 최대한 크게 하려면 분자를 가능한 한 크게, 분모를 가능한 한 작게 만든 다음, 짝이 맞는 제곱근이 서로 약분되는 것을 지켜보면 된다.
- 격자점 나열하기
- 현은 언제 무리수인가
- RS를 최대한 작게 만들기
- PQ를 최대한 크게 만들기
- 비 만들기