AMC 10 · 2017 · #2

학년 4 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

ratio-proportionoptimization-counting greedy-algorithm ↑ 선수 지식: ratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

파블로는 아이스바를 사는 데 8달러를 쓸 수 있다. 가게는 세 가지로 판다: 낱개 아이스바 1개에 1달러, 아이스바 3개들이 상자에 2달러, 아이스바 5개들이 상자에 3달러. 8달러 이하로 쓸 때 살 수 있는 아이스바의 최대 총개수를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 극단의 원리

도구 #14 (극단의 원리): 문제가 아이스바의 최대 개수를 묻고 있으므로, 1달러당 아이스바가 가장 많은 쪽으로 밀어붙이고 모든 달러를 다 쓴다. 도구 #8 (단위 살펴보기): 정말 중요한 것은 1달러당 아이스바 개수이므로, 사기 전에 세 가지 거래를 같은 기준에서 비교한다. 도구 #6 (추측하고 확인하기): 가장 좋은 조합을 만든 뒤, 8를 나눠 쓰는 다른 방법 몇 가지를 시험해 더 많은 경우가 없는지 확인한다.

1STEP 1

세 가지 거래 비교하기

6달러 기준: 낱개 6개, 2달러 상자로 3×3=9개, 3달러 상자로 2×5=10개 — 5개들이 상자가 최고.

6: 6 vs 3×3=9 vs 2×5=10

2STEP 2

가장 좋은 상자를 최대한 사기

3달러 상자는 5개, 두 개면 6달러에 10개, 8-6=2달러 남음 — 세 번째는 3달러라 두 개가 최대.

2×3=6 → 10 개, 8-6=2

3STEP 3

남은 2달러 알뜰하게 쓰기

2달러 남음: 3개들이 상자가 낱개 둘보다 많으니 더하면 10+3=13개, 돈을 다 씀.

2: 3 vs 2 → 10+3=13

4STEP 4

13을 넘는 조합 없는지 확인

경쟁 조합은 부족: 2달러 상자 넷은 4×3=12개, 3달러 하나+2달러 둘+낱개는 12개 — 13개가 최고, (D).

4×3=12, 5+6+1=12, 최대=13 → (D)

정답

답은 모두 낱개로 산 개수를 넘어야 한다: 8어치 낱개는 8개뿐이고 13 ＞ 8이므로 상자가 분명히 도움이 됐다. 또 완벽한 꿈의 비율 아래에 있어야 한다: 가장 좋은 거래인 3당 5개로도 8달러는 대략 13 부근이 한계이므로 15 같은 총합은 닿을 수 없다. 8를 정확히 써서 13개를 사면 1달러당 약 1.6개로, 3개 상자 비율(1.5)과 5개 상자 비율(약 1.67) 사이에 놓인다 — 그 두 상자를 섞으면 당연히 나오는 값이다.

💡핵심 정리

1달러당 아이스바가 가장 많은 거래를 찾아 최대한 사고, 남은 돈은 그다음 좋은 거래에 쓴다: 3 상자 둘에 2 상자 하나로 13개 — 보기 (D)다.

세 가지 거래 비교하기
가장 좋은 상자를 최대한 사기
남은 2달러 알뜰하게 쓰기
13을 넘는 조합 없는지 확인

세 가지 거래 비교하기

가장 좋은 상자를 최대한 사기

남은 2달러 알뜰하게 쓰기

13을 넘는 조합 없는지 확인

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