AMC 10 · 2017 · #22

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

equilateral-triangletangent-circlescircular-sectorarea-triangles area-differencethirty-sixty-ninety-triangle ↑ 선수 지식: equilateral-triangle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정삼각형 ABC의 두 변 AB와 AC가 한 원에 접하고, 접점은 각각 꼭짓점 B와 C이다. 삼각형 넓이 중 원 바깥에 놓인 부분이 차지하는 비율을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{4\sqrt{3}\pi}{27}-\frac{1}{3}$

(B)

$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{8}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}\pi}{9}$

(E)

$\frac{4}{3}-\frac{4\sqrt{3}\pi}{27}$

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

삼각형 안이면서 원 밖인 영역은 곡선으로 둘러싸여 직접 재기 까다롭다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이미 다룰 줄 아는 조각들 — 삼각형 전체, 원의 부채꼴, 그 부채꼴 안의 평범한 삼각형 — 으로 나눈다. 도구 #1(그림 그리기)과 '접선은 반지름과 수직'이라는 사실로 원의 중심과 핵심인 120° 중심각을 확정한다. 도구 #4(변수 도입하기)로 변의 길이를 편하게 고정하면 모든 넓이가 수가 된다. 마지막으로 도구 #16(관점 바꾸기)이 가장 깔끔한 마무리다. 곡선 영역을 직접 쫓는 대신 두 도형이 공유하는 넓이를 구한 뒤 삼각형에서 빼면 된다.

1STEP 1

그림 세우기

변을 1로 두면, AB와 AC가 접선이라 OB ⊥ AB, OC ⊥ AC이고 대칭으로 O가 각 A의 이등분선 위에 있어 OB = OC = r이다.

AB = AC = BC = 1, OB ⊥ AB, OC ⊥ AC

2STEP 2

반지름 구하기

직각삼각형 ABO에서 ∠BAO = 30°이므로 30-60-90 비율로 r = 1/√(3), r² = 1/3이다.

∠ BAO = 30°, r = OB = AB/√(3) = 1/√(3), r² = 1/3

3STEP 3

중심각 BOC 구하기

사각형 ABOC의 각은 90° + 90° + 60°이고, 사각형 각의 합이 360°이므로 ∠BOC = 120°이다.

∠ BOC = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°

4STEP 4

원과 삼각형이 공유하는 넓이

공유 부분은 현 BC가 잘라낸 활꼴로, 부채꼴(원의 3분의 1)에서 삼각형 BOC를 뺀 π/9 - √3/12이다.

활꼴 = π/9 - √(3)/12

5STEP 5

빼서 바깥 넓이 구하기

바깥 넓이 = 전체 삼각형 √3/4에서 공유 활꼴을 뺀 √3/3 - π/9이다.

√3/4 - (π/9 - √3/12) = √3/3 - π/9

6STEP 6

비율을 만들고 정리하기

바깥 넓이를 √3/4로 나누면 (√3/3 - π/9)/(√3/4) = 4/3 - 4√3 π/27, 곧 선택지 (E)이다.

(√3/3 - π/9)/√3/4 = 4/3 - 4√(3) π/27 → (E)

정답

4/3-4√(3)π/27

수치 확인: 4/3 ≈ 1.333이고 4√3 π/27 ≈ 4(1.732)(3.1416)/27 ≈ 0.806이므로 비율은 약 0.527이다. 절반을 살짝 넘는 값으로 그림과 들어맞는다. 원은 밑변 BC에서 위로 조금만 부풀어 올라, 키 큰 삼각형의 대부분을 덮지 못한 채 남긴다. 0과 1 사이에서 1/2보다 조금 큰 값은 정확히 우리가 기대할 결과이다.

💡핵심 정리

곡선 영역을 부채꼴과 삼각형으로 쪼개고, 원과 삼각형이 공유하는 부분을 구한 뒤, 그것을 삼각형 전체에서 빼면 된다.

그림 세우기
반지름 구하기
중심각 BOC 구하기
원과 삼각형이 공유하는 넓이
빼서 바깥 넓이 구하기
비율을 만들고 정리하기