AMC 10 · 2017 · #24

학년 8 algebra
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
polynomial-rootspolynomial-factoringvieta-formulas polynomial-factoringvieta-formulas ↑ 선수 지식: polynomial-roots
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
삼차식 g(x) = x³ + ax² + x + 10 은 서로 다른 세 근을 가지며, 그 세 근 모두가 사차식 f(x) = x⁴ + x³ + bx² + 100x + c 의 근이기도 하다. f(1)의 값을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
-9009
(B)
-8008
(C)
-7007
(D)
-6006
(E)
-5005

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

f는 g의 세 근을 모두 가지며 근이 정확히 하나 더 많다. 둘 다 모닉이므로 f는 g에 일차식 (x - r) 하나를 곱한 것과 같아야 한다. 그 네 번째 근을 r로 두고 곱을 전개한 뒤, 주어진 f와 항별로 계수를 비교한다. 계수 비교는 문제를 r, a, b, c를 결정하는 작은 일차방정식들로 바꿔 준다.

1STEP 1

f를 g와 일차식의 곱으로 쓰기

둘 다 모닉이고 f의 차수가 4이므로, f는 g에 일차식 하나를 곱한 것이다: 네 번째 근 r로 f(x) = g(x)(x - r).

f(x) = (x³ + ax² + x + 10)(x - r)
2STEP 2

곱을 전개하기

(x³ + ax² + x + 10)(x - r) 을 전개해 같은 차수끼리 모으면 계수가 a와 r로 표현된 사차식이 나온다.

f(x) = x⁴ + (a - r)x³ + (1 - ar)x² + (10 - r)x - 10r
3STEP 3

계수를 비교해 r 구하기

계수를 항별로 맞추면 네 방정식이 나오고, x항은 r만 담는다: 10 - r = 100 → r = -90.

10 - r = 100 → r = -90
4STEP 4

a, c, 그리고 b 구하기

r = -90 이면: a = 1 + r = -89, c = -10r = 900, b = 1 - (-89)(-90) = -8009.

a = -89, c = 900, b = 1 - (-89)(-90) = -8009
5STEP 5

f(1) 계산하기

f의 계수 합이 곧 f(1): 2 - 8009 + 100 + 900 = -7007, 인수분해로 (-77)(91) = -7007 도 같다.

f(1) = 2 - 8009 + 100 + 900 = -7007
정답
-7007
서로 독립적인 두 경로가 일치한다: 계수를 모두 더하면 2 - 8009 + 100 + 900 = -7007 이고, 인수분해 형태로는 g(1)(1 - r) = (-77)(91) = -7007 이다. 인수분해 경로는 b를 전혀 쓰지 않으므로 계수 비교 결과를 교차 검증해 준다. -7007은 정확히 보기 (C)이다.
💡핵심 정리

한 모닉 다항식이 더 작은 모닉 다항식의 근을 모두 품고 있으면, 그것은 작은 쪽에 남은 (x - r) 하나를 곱한 것일 뿐이고, 계수를 맞춰 보면 모든 것이 드러난다.

  • f를 g와 일차식의 곱으로 쓰기
  • 곱을 전개하기
  • 계수를 비교해 r 구하기
  • a, c, 그리고 b 구하기
  • f(1) 계산하기

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