AMC 10 · 2017 · #6

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

logical-deductioncontrapositiveif-then-reasoning contrapositive ↑ 선수 지식: logical-deduction

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

선생님이 약속해요: 객관식 문제를 모두 맞힌 사람은 누구든 A를 받는다. Lewis에 관한 다섯 개의 if-then(만약~라면) 문장 중, 이 약속에서 논리적으로 반드시 따라 나오는 문장 하나를 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

If Lewis did not receive an A, then he got all of the multiple choice questions wrong.

(B)

If Lewis did not receive an A, then he got at least one of the multiple choice questions wrong.

(C)

If Lewis got at least one of the multiple choice questions wrong, then he did not receive an A.

(D)

If Lewis received an A, then he got all of the multiple choice questions right.

(E)

If Lewis received an A, then he got at least one of the multiple choice questions right.

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

약속은 한 방향 if-then이에요: "모두 맞힘 → A." 도구 #11(거꾸로 풀기)로 이 약속과 늘 함께 가는 단 하나의 문장 — 대우(화살표를 뒤집고 양쪽을 부정한 것) — 를 만들어요. 도구 #16(관점 바꾸기/여사건)은 까다로운 부정을 처리: "모두 맞힘"의 반대는 "모두 틀림"이 아니라 "적어도 하나 틀림". 대우를 손에 쥐면 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지를 모두 검사하고, 참인 대우만 살아남으며 역(converse)·이(inverse) 함정은 떨어져 나가요.

1STEP 1

약속을 한 방향 if-then으로 쓰기

약속은 한 방향뿐: 모두 맞힘 → A. A가 만점에서만 나온다고는 안 하니 "A는 곧 모두 맞힘"은 과한 해석이에요.

약속: (모두 맞힘) → (A)

2STEP 2

뒤집고 부정하기: 대우

모든 if-then엔 보장된 짝이 하나 — 대우 — 화살표를 뒤집고 양쪽을 부정해 만들죠: A 아님 → 모두 맞힘 아님.

(모두 맞힘) → (A) ≡ (A 아님) → (모두 맞힘 아님)

3STEP 3

"모두 맞힘"을 조심스럽게 부정하기

"모두 맞힘 아님"은 적어도 하나 틀림이지 모두 틀림이 아니에요 — 한 문제만 틀려도 "모두 맞힘"은 깨져요.

not(모두 맞힘) = (적어도 하나 틀림) ≠ (모두 틀림)

4STEP 4

다섯 개 검사, 대우만 남기기

다섯 개 검사: (A) 너무 강함, (C) 이, (D)·(E) 거꾸로 — 참인 대우만 살아남으니 답은 (B)예요.

(A) ✗, (C) 이 ✗, (D) 역 ✗, (E) ✗, (B) 대우 ✓ → (B)

정답

If Lewis did not receive an A, then he got at least one of the multiple choice questions wrong.

(B)를 구체적 상황으로 시험해 봐요: Lewis가 딱 한 문제 틀렸다고 하죠. 그러면 모두 맞힌 게 아니니 약속이 그의 A를 더는 보장하지 않아요. 실제로 그가 A를 못 받았다면, (B)는 "적어도 하나 틀림"이라 말하고 이는 정확히 참이에요. 반면 (A)는 그가 전부 틀렸어야 한다고 잘못 요구하죠. 한 문제 오답 상황이 (B)를 확인하고 (A)·(C)·(D)·(E)를 무너뜨려요.

💡핵심 정리

"X를 하면 Y를 얻는다"는 약속이 강제하는 추가 사실은 단 하나, 그 대우예요: "Y가 없으면 X를 안 한 것" — 그리고 "모두 맞힘"의 반대는 "모두 틀림"이 아니라 "적어도 하나 틀림"이라는 걸 기억하세요.

약속을 한 방향 if-then으로 쓰기
뒤집고 부정하기: 대우
"모두 맞힘"을 조심스럽게 부정하기
다섯 개 검사, 대우만 남기기

약속을 한 방향 if-then으로 쓰기

뒤집고 부정하기: 대우

"모두 맞힘"을 조심스럽게 부정하기

다섯 개 검사, 대우만 남기기

비슷한 유형 더 풀어보기