AMC 10 · 2017 · #10

학년 8 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometryslope-interceptsystems-of-equations convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: slope-intercept

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 직선 ax-2y=c 와 2x+by=-c 가 서로 수직이고 점 (1,-5) 에서 만난다. a, b, c 는 모두 미지수다. c 의 값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-13

(B)

-8

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

도구 #4 (변수 도입하기): a, b, c 가 모두 미지수이므로 그대로 문자로 두고 조건이 값을 결정하게 한다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 두 조건이 각각 다른 손잡이를 준다 — '수직'은 기울기를 결정하고, '(1,-5) 를 지난다'는 상수를 결정하므로 각각 풀어서 합친다. 도구 #13 (대수로 바꾸기): 각 기하 조건을 식으로 바꾸고 보통 대수로 마무리한다.

1STEP 1

각 기울기 구하기

각 식을 y 에 대해 풀면 ax-2y=c 는 기울기 a/2, 2x+by=-c 는 기울기 -2/b 를 준다.

기울기₁=a/2, 기울기₂=-2/b

2STEP 2

수직 조건 쓰기

수직이면 기울기의 곱이 -1 이므로 a/2·(-2/b)=-1, 즉 -a/b=-1 이고 정리하면 a=b 이다.

a/2·(-2/b)=-1 → -a/b=-1 → a=b

3STEP 3

점 대입하기

(1,-5) 를 두 직선에 대입하면 직선 1은 a+10=c, 직선 2는 c=5b-2 를 준다.

a+10=c, c=5b-2

4STEP 4

연립방정식 풀기

a=b 이므로 c 에 대한 두 식이 만난다: a+10=5a-2, 그래서 12=4a, 곧 a=3 이다.

a+10=5a-2 → 12=4a → a=3

5STEP 5

c 읽어내기

a=3 을 c=a+10 에 넣으면 c=3+10=13, 곧 보기 (E) 이다.

c=a+10=3+10=13 → (E)

정답

a=b=3, c=13 이면 두 직선은 3x-2y=13 과 2x+3y=-13 이다. 점 확인: 3(1)-2(-5)=3+10=13 이고 2(1)+3(-5)=2-15=-13 으로 둘 다 성립한다. 기울기는 3/2 와 -2/3 이고 곱이 -1 이므로 실제로 수직이다. 모두 c=13 과 일치한다.

💡핵심 정리

각 직선의 기울기를 읽고, '수직이면 기울기의 곱이 -1' 로 a 와 b 를 잇고, 공통점을 두 식에 대입해 풀면 c=13, 곧 보기 (E) 가 나온다.

각 기울기 구하기
수직 조건 쓰기
점 대입하기
연립방정식 풀기
c 읽어내기

각 기울기 구하기

수직 조건 쓰기

점 대입하기

연립방정식 풀기

c 읽어내기

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