AMC 10 · 2017 · #13

학년 6 arithmetic
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region
principle-of-inclusion-exclusionset-partitiondouble-counting double-countingconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: principle-of-inclusion-exclusion
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
학생이 20 명 있고, 모든 학생은 요가, 브리지, 그림 세 수업 중 적어도 하나를 듣는다. 각 수업의 인원은 요가 10 명, 브리지 13 명, 그림 9 명이다. 정확히 9 명이 두 개 이상의 수업을 듣는다. 세 수업을 모두 듣는 학생은 몇 명인지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
(E)
5

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

도구 #16 (관점 바꾸기): 학생을 따라가는 대신 수업 자리를 센다 — 세 수업 인원의 합은 여러 수업을 듣는 학생을 조용히 여러 번 세는데, 바로 그 중복이 문제가 묻는 것이기 때문이다. 도구 #4 (변수 도입하기): 모르는 세 수업 수강자 수를 c 로 두어 중복 자리를 c 로 나타낸다. 도구 #13 (대수로 바꾸기): 자리 수가 하나의 짧은 식이 되어 c 를 구한다.

1STEP 1

전체 수업 자리 세기

세 수업 인원을 더하면 10+13+9=32 자리로, 각 학생이 듣는 수업마다 한 번씩 세어진다.

10+13+9=32
2STEP 2

남는 자리 찾기

20 명이 각자 자리 하나를 공짜로 채우므로, 추가 자리는 32-20=12 개다.

32-20=12
3STEP 3

세 수업 수강자 수 이름 붙이기

세 수업 수강자를 c 라 하면 정확히 두 개는 9-c 명이고, 추가 자리는 (9-c)+2c=12 가 된다.

(9-c)+2c=12
4STEP 4

수 구하기

동류항을 정리하면 9+c=12 이므로 c=3 — 세 수업을 모두 듣는 학생은 3 명, 보기 (C) 이다.

9+c=12 → c=3 → (C)
정답
3
전체 분포를 확인하자: c=3 명이 세 수업을 다 듣고, 9-3=6 명이 정확히 두 개, 20-9=11 명이 정확히 한 개를 듣는다. 자리 합은 11· 1 + 6· 2 + 3· 3 = 11+12+9=32 로 10+13+9 와 일치한다. '두 개 이상' 인원은 6+3=9 로 주어진 값과 같다. 답 3 은 보기 1 부터 5 사이에 있으므로 모두 일관적이다.
💡핵심 정리

모든 수업 자리를 더하고(32), 학생마다 공짜 자리 하나씩 빼면(20) 중복 자리 12 개가 남는다. 두 개 이상 듣는 9 명이 그중 9 개를 쓰고, 남는 3 명이 세 수업을 모두 듣는 학생이다 — 보기 (C).

  • 전체 수업 자리 세기
  • 남는 자리 찾기
  • 세 수업 수강자 수 이름 붙이기
  • 수 구하기

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