AMC 10 · 2017 · #16

학년 4 arithmetic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

systematic-enumerationcomplementary-countingplace-value complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: systematic-enumeration

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

1부터 2017까지의 양의 정수 중에서, 10진법으로 그대로 적었을 때 숫자 0이 한 자리라도 들어가는 수가 몇 개인지 센다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

469

(B)

471

(C)

475

(D)

478

(E)

481

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

0을 포함하는 수를 곧바로 세면 '적어도 하나'라는 지저분한 경우 나누기가 생긴다. 뒤집어서 0이 전혀 없는 수를 세자. 각 자리가 0만 피하면 되니 깔끔하다. 그 개수를 자릿수별로 나눠 간단한 곱셈으로 세고, 전체 2017에서 빼면 된다.

1STEP 1

전체 개수와 뒤집기

2017개 수가 두 무리로 갈리므로 0 있음 = 2017 - 0 없음; 0이 없는 수를 자릿수별로 센다.

#(has a 0)=2017-#(no 0)

2STEP 2

한 자리 수

한 자리 수 1부터 9까지는 0이 들어갈 자리가 없어 9개 모두 0이 없다.

9 numbers, all zero-free

3STEP 3

0이 없는 두 자리와 세 자리 수

각 자리가 1-9로 0을 피하면 두 자리는 9 x 9 = 81개, 세 자리는 9 x 9 x 9 = 729개가 0이 없다.

9× 9=81, 9× 9× 9=729

4STEP 4

0이 없는 2017까지의 네 자리 수

1000-1999에서는 뒤 세 자리가 0을 피해 9 x 9 x 9 = 729개, 2000-2017은 2 뒤에 0이 있어 하나도 보태지 않는다.

9× 9× 9=729 (from 1000-1999); 0 from 2000-2017

5STEP 5

0이 없는 개수를 더하고 빼기

0이 없는 합계 9 + 81 + 729 + 729 = 1548이므로, 0을 포함하는 수는 2017 - 1548 = 469다.

2017-(9+81+729+729)=2017-1548=469

정답

469

2017까지의 수 중 약 4분의 1이 0을 가진다는 것은 그럴듯하다: 469는 2017의 약 23%다. 대략적인 어림도 들어맞는데, 세 자리 수에서 뒤 두 자리가 0이 없을 확률은 (9/10)(9/10) = 81%라 약 19%가 0을 가지며, 2000-2017 구간은 전부 0을 포함하므로 비율을 조금 올린다. 다섯 보기는 470 부근에 몰려 있고, 0이 없는 정확한 개수 1548에서 나오는 값은 오직 469뿐이다.

💡핵심 정리

'적어도 하나'를 세기 어려우면, 반대(하나도 없음)를 세서 전체에서 빼라.

전체 개수와 뒤집기
한 자리 수
0이 없는 두 자리와 세 자리 수
0이 없는 2017까지의 네 자리 수
0이 없는 개수를 더하고 빼기

전체 개수와 뒤집기

한 자리 수

0이 없는 두 자리와 세 자리 수

0이 없는 2017까지의 네 자리 수

0이 없는 개수를 더하고 빼기

비슷한 유형 더 풀어보기