AMC 10 · 2017 · #19

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length
equilateral-trianglelaw-of-cosinessimilar-figuressymmetry-argument symmetry-argumentidentify-subproblems ↑ 선수 지식: equilateral-triangle
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
정삼각형 ABC에서 시작한다. 직선 AB를 따라 B를 지나 BB' = 3*AB가 되는 점 B'까지 간다. 같은 회전 방향으로 직선 BC를 따라 C를 지나 CC' = 3*BC가 되는 C'까지, 직선 CA를 따라 A를 지나 AA' = 3*CA가 되는 A'까지 간다. 바깥 삼각형 A'B'C'의 넓이를 ABC의 넓이와 비교하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
9:1
(B)
16:1
(C)
25:1
(D)
36:1
(E)
37:1

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

그림을 그리고 편리한 변의 길이 AB = 1을 잡는다. 세 연장은 모두 같은 방식으로 만들어졌으므로, 중심을 기준으로 그림을 120도 돌리면 자기 자신과 겹친다. 따라서 바깥 삼각형 A'B'C'도 정삼각형이다. 이로써 문제는 바깥 변 하나를 구하는 단 하나의 작은 문제로 줄어든다. 닮은 삼각형에서 넓이는 변의 비의 제곱으로 늘어나기 때문이다. 바깥 변 하나, 예를 들어 B'C'은 두 변과 그 사이 각을 쉽게 읽어낼 수 있는 삼각형 안에 들어 있다.

1STEP 1

그림을 그리고 대칭을 이용하기

AB = 1로 두자. 120도 회전이 도형을 자기 자신에 겹치므로 바깥 삼각형 A'B'C'은 정삼각형 — 한 변만 구하면 된다.

AB=BC=CA=1, △ A'B'C'은 정삼각형
2STEP 2

삼각형 B'BC'의 두 변

삼각형 B'BC'의 꼭짓점 B에서 한 변은 BB' = 3, 다른 변은 B, C, C'이 한 직선 위라 BC' = 1 + 3 = 4이다.

BB'=3, BC'=BC+CC'=1+3=4
3STEP 3

두 변 사이의 각

B'은 B 너머 A의 반대쪽이라 반직선 BB'은 BA와 정반대, BC'까지 돌면 각 B'BC' = 180 - 60 = 120도이다.

∠ B'BC' = 180° - 60° = 120°
4STEP 4

직각삼각형으로 B'C' 구하기

C'에서 AB'에 수선을 내리고 피타고라스를 쓰면 B'D = 5, DC'² = 12이라 B'C'² = 37, B'C' = sqrt(37).

B'C'² = B'D² + DC'² = 5² + 12 = 37, B'C'=√(37)
5STEP 5

변의 비를 제곱하기

둘 다 정삼각형이라 닮음; 넓이는 변의 비의 제곱이므로 (sqrt(37)/1)² = 37, 넓이 비는 37 : 1, 보기 (E).

([△ A'B'C'])/([△ ABC]) = (√(37)/1)² = 37
정답
37:1
각 바깥 변이 원래 변을 훨씬 넘어 늘어나므로 바깥 삼각형은 ABC보다 훨씬 커야 하고 큰 비가 예상된다. 틀린 보기 9, 16, 25, 36은 모두 완전제곱수인데, 이는 바깥 변이 정수로 나올 때만 가능하다. 여기서는 120도 모서리 때문에 B'C'² = 37인 비제곱수가 되어 변 sqrt(37)이 무리수이므로 37:1이 자연스럽다. 같은 삼각형에 코사인 법칙을 써도 일치한다: 3² + 4² - 2(3)(4)cos120 = 9 + 16 + 12 = 37.
💡핵심 정리

도형을 길이 배율로 키우면 넓이는 그 배율의 제곱으로 커지므로, 바깥 변 하나만 구하면 넓이의 비가 모두 정해진다.

  • 그림을 그리고 대칭을 이용하기
  • 삼각형 B'BC'의 두 변
  • 두 변 사이의 각
  • 직각삼각형으로 B'C' 구하기
  • 변의 비를 제곱하기

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