AMC 10 · 2017 · #20

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

prime-factorizationdivisor-countprobability-basic legendre-formulacomplementary-counting ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

21! 은 1· 2· 3… 21 의 곱이다. 이 수는 60,000 개가 넘는 양의 약수를 가진다. 그 약수 중 하나를 무작위로 (각각 같은 확률로) 고를 때, 고른 약수가 홀수일 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{21}$

(B)

$\frac{1}{19}$

(C)

$\frac{1}{18}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

$\frac{11}{21}$

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

도구 #16 (관점 바꾸기): 약수의 홀짝은 인수 2 를 몇 개 갖느냐에만 달려 있으므로, 다른 소인수는 모두 무시하고 2 의 거듭제곱만 본다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 정말 필요한 단 하나의 수는 21! 안에 2 가 몇 개 들어 있는가이며, 이는 독립된 세기 문제다. 도구 #4 (변수 도입하기): 약수에 들어가는 2 의 지수를 분명한 값 목록 위를 움직이는 변수로 두어, '홀수냐 아니냐'를 깔끔한 세기로 바꾼다.

1STEP 1

홀짝은 2의 개수만 결정

임의의 약수를 2^a· m (m 은 홀수) 로 쓰면, 다른 소인수 (3,5,7,…) 는 홀짝을 못 바꾸므로 a=0 일 때만 홀수다.

약수 = 2^a· m, m 은 홀수

2STEP 2

21! 속 2의 개수 세기

21! 에서 2, 4, 8, 16 의 배수가 2 를 10+5+2+1 = 18 개 주므로, 21!=2¹⁸·(홀수 부분) 이다.

10+5+2+1 = 18

3STEP 3

a가 가질 수 있는 값 나열

지수 a 는 0 부터 18 까지 어떤 값이든 되어 19 가지 선택이며, 홀수 부분 m 마다 2 의 거듭제곱 하나씩이다.

a ∈ {0,1,2,…,18} → 19 가지

4STEP 4

세기를 확률로 바꾸기

약수를 홀수 부분 m 으로 묶으면 각 묶음의 19 개 중 정확히 하나 (a=0) 만 홀수이므로, 확률은 1/19, 보기 (B) 이다.

P(홀수) = 1/19 → (B)

정답

1/19

완전한 소인수분해 21! = 2¹⁸· 3⁹· 5⁴· 7³· 11· 13· 17· 19 로 확인하자. 약수의 총 개수는 (18+1)(9+1)(4+1)(3+1)(1+1)⁴ = 19· 10· 5· 4· 16 = 60,800 으로 '60,000 개가 넘는다'와 일치한다. 홀수 약수는 2 를 빼므로 10· 5· 4· 16 = 3,200 개다. 그러면 3,200/60,800 = 1/19 로 답이 확인된다. 대부분의 약수가 적어도 하나의 2 를 갖기에 확률이 0.05 근처인 것은 타당하다.

💡핵심 정리

약수는 2 를 하나도 가져가지 않을 때만 홀수다. 21! 에는 2 가 18 개 있어 2 의 거듭제곱은 (0 부터 18 까지) 19 가지 선택이 있고 그중 하나만 홀수로 남긴다 — 확률 1/19, 보기 (B).

홀짝은 2의 개수만 결정
21! 속 2의 개수 세기
a가 가질 수 있는 값 나열
세기를 확률로 바꾸기

홀짝은 2의 개수만 결정

21! 속 2의 개수 세기

a가 가질 수 있는 값 나열

세기를 확률로 바꾸기

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