AMC 10 · 2017 · #21

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoreminteger-pythagorean-triplesarea-trianglescoordinate-geometry identify-subproblemsformula-substitution ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

삼각형 ABC의 세 변은 AB=6, AC=8, BC=10이고, D는 변 BC의 중점이다. 선분 AD를 그으면 삼각형은 △ ADB와 △ ADC로 나뉜다. 두 작은 삼각형에는 각각 내접원이 있다. 두 내접원의 반지름의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\sqrt{5}$

(B)

$\frac{11}{4}$

(C)

$2\sqrt{2}$

(D)

$\frac{17}{6}$

(E)

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림 그리기): 이것은 도형 문제이므로 △ ABC에 선분 AD를 그려보면 직각과 두 작은 삼각형이 눈에 보인다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 각 작은 삼각형의 내접원 반지름은 그 삼각형의 넓이와 반둘레에서 나오므로, AD 구하기, 각 넓이 구하기, 각 반지름 구하기로 일이 나뉜다. 도구 #4 (변수 도입하기): 도형을 좌표에 올리면 외운 정리를 인용하지 않고도 거리 공식으로 AD를 깔끔하게 계산할 수 있다.

1STEP 1

직각 찾기

6²+8²=100=10²이므로 피타고라스 정리의 역에 의해 △ ABC는 가장 긴 변 BC의 맞은편 A가 직각인 직각삼각형이다.

6²+8²=100=10² → ∠ A=90°

2STEP 2

좌표로 AD 구하기

직각을 원점에 놓으면 A=(0,0), B=(6,0), C=(0,8)이라 중점 D=(3,4)이고 AD=√(3²+4²)=5로 BD, DC와 같다.

D=(3,4), AD=√(3²+4²)=5

3STEP 3

넓이를 둘로 나누기

∠ A=90°이므로 두 변 6과 8로 [△ ABC]=1/2· 6· 8=24이고, D로 가는 중선이 넓이가 같은 두 조각 각각 12로 나눈다.

[△ ABC]=1/2(6)(8)=24, [△ ADB]=[△ ADC]=12

4STEP 4

각 내접원 반지름 구하기

r=넓이/s를 쓰면 △ ADB는 s=8이라 r₁=12/8=3/2, △ ADC는 s=9라 r₂=12/9=4/3이다.

r₁=12/8=3/2, r₂=12/9=4/3

5STEP 5

반지름 더하기

공통분모 6으로 더하면 3/2+4/3=9/6+8/6=17/6, 보기 (D)이다.

r₁+r₂=3/2+4/3=9/6+8/6=17/6 → (D)

정답

17/6

합 17/6≈ 2.83은 각 반지름의 값에 비추어 타당해야 한다. 각 반지름은 5/2보다 작고(반지름은 1.5와 약 1.33), 따라서 가장 긴 변이 8에 불과한 두 작은 삼각형에 대해 2.83 부근의 합은 믿을 만하다. 답은 양수이고 깔끔한 정수도 아니어서 6,8이라는 변의 길이와 잘 어울린다. 보기 √5≈2.24와 3이 그 값을 양쪽에서 감싸므로, 그 사이에 놓이는 17/6은 합리적이다.

💡핵심 정리

내접원 반지름은 넓이를 반둘레로 나눈 값이므로, 6,8,10이 직각삼각형이고 AD=5임을 보고 나면 두 반지름 3/2과 4/3의 합이 17/6, 보기 (D)가 된다.

직각 찾기
좌표로 AD 구하기
넓이를 둘로 나누기
각 내접원 반지름 구하기
반지름 더하기

직각 찾기

좌표로 AD 구하기

넓이를 둘로 나누기

각 내접원 반지름 구하기

반지름 더하기

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