AMC 10 · 2017 · #24

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity
equilateral-trianglecoordinate-geometrycentroid-2-to-1symmetry-argument symmetry-argumentidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometry
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
정삼각형의 세 꼭짓점이 모두 곡선 xy = 1 위에 있다. 이 곡선의 꼭짓점(원점에 가장 가까운 두 꺾이는 점 중 하나)이 삼각형의 무게중심, 즉 균형점이다. 삼각형 넓이의 제곱을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
48
(B)
60
(C)
108
(D)
120
(E)
169

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

곡선을 그려서 꼭짓점이 어디인지, 그리고 그림 전체가 직선 y = x에 대해 거울 대칭인지를 본다. 이 대칭성이 삼각형의 한 꼭짓점을 거저 정해 준다. 거기서부터 일은 깔끔한 작은 문제로 나뉜다. 무게중심에서 꼭짓점까지의 거리(외접원의 반지름)를 재고, 정삼각형의 고정된 모양을 이용해 그 반지름을 변의 길이로 바꾸고, 마지막으로 넓이를 읽어내면 된다.

1STEP 1

쌍곡선의 꼭짓점 찾기

곡선 xy = 1은 y = x 대칭이고 꺾이는 점은 (1, 1), (-1, -1)이다. 무게중심을 G = (-1, -1)로 잡는다.

xy=1 → vertices (1,1) and (-1,-1); G=(-1,-1)
2STEP 2

대칭성으로 한 꼭짓점 놓기

곡선과 무게중심이 y = x 대칭이므로 삼각형도 대칭이라, 한 꼭짓점이 그 직선 위 A = (1, 1)에 놓인다.

reflect across y=x → A=(1,1)
3STEP 3

외접원의 반지름 재기

무게중심은 외심이므로 R은 G에서 A까지의 거리다. R = √8이니 R² = 8이다.

R=√((1-(-1))²+(1-(-1))²)=√(4+4)=√(8), R²=8
4STEP 4

반지름을 변의 길이로 바꾸기

정삼각형은 R = s/√3이므로 제곱하면 s² = 3R² = 24이다.

R=s/√(3) → s²=3R²=3· 8=24
5STEP 5

넓이를 제곱하기

넓이 = (√3/4)s² = 6√3이고, 넓이의 제곱은 (6√3)² = 108이다 — 보기 (C).

[△]=√(3)/4s²=√(3)/4· 24=6√(3); [△]²=(6√(3))²=108
정답
108
나머지 두 꼭짓점이 정말 곡선 위에 있는지 확인하자. 원 (x+1)² + (y+1)² = 8은 xy = 1과 x + 1/x = 2(점 (1,1))이거나 x + 1/x = -4(x = -2 ± sqrt(3))인 곳에서 만난다. 추가된 두 점은 (-2+sqrt(3), -2-sqrt(3))과 (-2-sqrt(3), -2+sqrt(3))으로 둘 다 xy = 1 위에 있다. 이 둘과 (1,1)의 평균은 (-1,-1) = G로 무게중심이 확인되고, 두 점 사이 거리는 sqrt(24) = 2sqrt(6) = s로 맞는다. 넓이 6sqrt(3)는 약 10.4이므로 그 제곱은 108 부근으로 보기 (C)에 정확히 들어맞는다.
💡핵심 정리

도형이 대칭이면 균형점이 곧 외접원의 중심이라서, 꼭짓점까지의 거리 하나로 나머지가 전부 풀린다.

  • 쌍곡선의 꼭짓점 찾기
  • 대칭성으로 한 꼭짓점 놓기
  • 외접원의 반지름 재기
  • 반지름을 변의 길이로 바꾸기
  • 넓이를 제곱하기

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