AMC 10 · 2017 · #3

학년 7 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In
interval-arithmeticsign-analysislogical-deduction bound-inequality-then-enumerateguess-and-check ↑ 선수 지식: interval-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
세 실수가 0 ＜ x ＜ 1, -1 ＜ y ＜ 0, 1 ＜ z ＜ 2를 만족한다. 주어진 다섯 식 중에서 운 좋은 몇몇 값에서가 아니라 허용된 모든 x, y, z에 대해 항상 양수가 되는 식을 찾아라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$y+x^2$
(B)
y+xz
(C)
$y+y^2$
(D)
$y+2y^2$
(E)
y+z

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 가능성 지우기

도구 #3 (가능성 지우기): 선택지가 다섯 개이고 살아남는 것은 하나뿐이므로, 넷을 지우면 다섯 번째를 증명한 것과 같다. 도구 #14 (극단의 원리): 어떤 식이 모든 값에서 양수일 조건은 가장 나쁜 경우(가능한 최솟값)가 여전히 양수일 때와 정확히 같으므로, 각 범위를 낮은 쪽 끝으로 밀어 본다. 도구 #6 (추측하고 확인하기): 실패할 수 있는 선택지는 그것을 음수로 만드는 구체적인 수 한 벌만 찾으면 탈락시킬 수 있다.

1STEP 1

범위 읽기

반드시 양수란 최악의 경우에도 식이 0을 넘어야 한다는 뜻이라, 각 선택지를 모든 구간의 낮은 쪽 끝에서 확인한다.

0 ＜ x ＜ 1, -1 ＜ y ＜ 0, 1 ＜ z ＜ 2
2STEP 2

y+z의 하한 더하기

선택지 (E)에서 y와 z는 각각 하한 -1과 1을 넘으므로 그 합은 (-1)+1=0을 넘는다 — 모든 허용 값에서 양수다.

y ＞ -1 이고 z ＞ 1 → y+z ＞ (-1)+1=0
3STEP 3

(A)와 (B) 지우기

x=0.1, y=-0.9, z=1.5면 x²·xz가 0에 가까워 음수 y가 남고 y+x²=-0.89, y+xz=-0.75 — 둘 다 탈락.

x=0.1, y=-0.9, z=1.5: y+x²=-0.89, y+xz=-0.75
4STEP 4

(C)와 (D)를 인수분해로 지우기

인수분해: (C) y+y²=y(1+y)는 음수×양수라 항상 음수; (D) y+2y²=y(1+2y)는 y=-1/2에서 부호가 바뀐다.

y+y²=y(1+y) ＜ 0; y+2y²=y(1+2y) 는 y=-1/2 에서 부호 변화
5STEP 5

(E)만 살아남는다

(A)~(D)는 각각 어떤 허용 값에서 실패하므로, 반드시 양수인 식은 선택지 (E)뿐이다.

y+z ＞ 0 항상 → (E)
정답
y+z
y+z의 극단을 점검하면, 가장 나쁜 구석 y→ -1, z→ 1에서도 합은 0에 위쪽에서 가까워질 뿐 결코 그 아래로 내려가지 않으므로 y+z는 양수를 유지한다 — (E)를 고른 것과 일치한다. 한편 지워 낸 선택지들은 각각 실패하는 구체적 예가 있었으므로 실수로 버린 것은 없다.
💡핵심 정리

어떤 식이 '항상 양수'이려면 가능한 최솟값마저 0보다 커야 한다. 낮은 쪽 끝 y ＞ -1과 z ＞ 1을 더하면 y+z ＞ 0이므로 답은 (E)다.

  • 범위 읽기
  • y+z의 하한 더하기
  • (A)와 (B) 지우기
  • (C)와 (D)를 인수분해로 지우기
  • (E)만 살아남는다

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.