AMC 10 · 2017 · #8

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometryisosceles-triangleperpendicular-bisector symmetry-argumentspatial-visualization ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

삼각형 ABC에서 A에서 나온 두 변의 길이가 같다, 즉 AB=AC이다. 꼭짓점 A(11,9)와 B(2,-3)이 주어져 있고, A에서 내린 수선(높이)이 맞은편 변 BC와 점 D(-1,3)에서 만난다. 세 번째 꼭짓점 C의 좌표를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(-8, 9)

(B)

(-4, 8)

(C)

(-4, 9)

(D)

(-2, 3)

(E)

(-1, 0)

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림 그리기): A, B, D를 좌표평면에 찍으면 좌표 목록이 대칭이 보이는 도형으로 바뀐다. 도구 #17 (공간 상상하기): 이등변삼각형은 꼭지각에서 내린 높이를 따라 자기 자신에 포개지므로, 발점 D가 밑변 BC의 중점이 될 수밖에 없다 — 이 한 가지 사실이 문제의 전부다. 도구 #4 (변수 도입하기): D가 중점임을 알면 C=(x,y)로 놓고 중점 관계로 풀 수 있다.

1STEP 1

주어진 점 찍기

A, B, D를 찍으면 B와 C는 밑변의 끝점이고 D는 그 위에 있어, B, D, C가 한 직선 위에 놓이고 D는 그 사이에 있다.

A=(11,9), B=(2,-3), D=(-1,3)∈ BC

2STEP 2

이등변 대칭 이용하기

AB=AC이므로 AD를 따라 접으면 B가 C에 포개져, 높이가 밑변의 수직이등분선이 되고 그 발점 D는 BC의 중점이다.

AB=AC → D 는 BC 의 중점

3STEP 3

중점 방정식 세우기

C=(x,y)로 놓으면 D가 B와 C의 중점이므로 D의 각 좌표는 평균이고, x와 y에 대한 식이 하나씩 나온다.

(2+x)/2=-1, (-3+y)/2=3

4STEP 4

C 구하기

D를 두 배 하고 B를 빼면 x=2(-1)-2=-4, y=2(3)-(-3)=9이므로 C=(-4,9), 선택지 (C)이다.

x=2(-1)-2=-4, y=2(3)-(-3)=9 → C=(-4,9)

정답

(-4, 9)

D가 정말 B(2,-3)과 C(-4,9)의 중점인지 확인한다: 평균은 ((2+(-4))/2,(-3+9)/2)=(-1,3)=D. 두 변이 같다는 조건도 성립한다: AB=√(9²+12²)=15, AC=√(15²+0²)=15이므로 AB=AC. 두 확인 모두 C=(-4,9), 즉 선택지 (C)를 뒷받침한다.

💡핵심 정리

이등변삼각형에서 꼭지각에서 내린 높이는 밑변의 한가운데에 닿으므로, D는 BC의 중점이고 C는 B가 D에서 떨어진 만큼 반대쪽으로 떨어져 있다 — 그래서 C=(-4,9).

주어진 점 찍기
이등변 대칭 이용하기
중점 방정식 세우기
C 구하기

주어진 점 찍기

이등변 대칭 이용하기

중점 방정식 세우기

C 구하기

비슷한 유형 더 풀어보기