AMC 10 · 2017 · #9

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccaseworkcombinations-basic caseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

퀴즈에는 객관식 문제가 3개 있고, 각 문제에는 보기가 3개씩 있으며, 참가자는 모든 답을 무작위로 찍는다. 3문제 중 2문제 이상 맞히면 이긴다. 이길 확률을 구하는 문제이다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{27}$

(B)

$\frac{1}{9}$

(C)

$\frac{2}{9}$

(D)

$\frac{7}{27}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

"2문제 이상"에는 서로 다른 두 상황이 숨어 있으므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 앞장선다: 이기는 경우를 정확히 3문제 맞히는 경우와 정확히 2문제 맞히는 경우로 나누어 각각 따로 처리한 뒤 더한다. 정확히 2문제 맞히는 경우는 틀린 한 문제가 세 문제 중 어느 것이든 될 수 있어 주의가 필요하므로, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그 3가지를 깔끔하게 센다. 한 번의 추측이 맞을 확률은 1/3이므로 각 경우는 문제별 확률의 곱이 된다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 검토에서 독립적인 확인을 준다: 이기는 두 경우 대신 지는 두 경우를 더해 1에서 빼면 된다.

1STEP 1

한 문제의 확률 구하기

보기 셋 중 정답이 하나이므로 한 추측이 맞을 확률은 1/3, 틀릴 확률은 2/3이다.

P(맞힘)=1/3, P(틀림)=2/3

2STEP 2

이기는 경우를 둘로 쪼개기

"2문제 이상"은 0이나 1문제가 아니므로, 정확히 3문제 또는 2문제 맞히는, 겹치지 않는 두 경우로 나뉜다.

P(이김)=P(정확히 3)+P(정확히 2)

3STEP 3

세 문제 모두 맞힐 확률

세 문제 모두 맞히고 추측이 독립이므로 곱한다: 1/3×1/3×1/3=1/27.

P(정확히 3)=(1/3)³=1/27

4STEP 4

정확히 두 문제 맞힐 확률

정확히 2문제 맞힘은 한 문제가 틀림이고, 틀린 문제는 셋 중 아무거나이므로 3×(1/3×1/3×2/3)=6/27.

P(정확히 2)=3×(1/3)²×2/3=3×2/27=6/27

5STEP 5

이기는 두 경우 더하기

분모가 같으므로 분자를 더한다: 1/27+6/27=7/27, 이길 확률이며 보기 (D)이다.

P(이김)=1/27+6/27=7/27 → (D)

정답

7/27

답 7/27은 모든 확률이 그래야 하듯 0과 1 사이에 있다. 이 값은 1/4보다 조금 크며, 이는 자연스럽다: 어려운 무작위 추측으로 운 좋게 이기는 것은 가능하지만 흔하지는 않으므로, 1/2에 가까운 답이나 1/27처럼 아주 작은 답은 모두 어색해 보인다. 7/27≈ 0.26은 그 중간에 알맞게 놓인다.

💡핵심 정리

"2문제 이상"을 정확히 3문제 맞힘(1/27)과 정확히 2문제 맞힘(6/27)으로 쪼개 더하면 7/27, 보기 (D)이다.

한 문제의 확률 구하기
이기는 경우를 둘로 쪼개기
세 문제 모두 맞힐 확률
정확히 두 문제 맞힐 확률
이기는 두 경우 더하기

한 문제의 확률 구하기

이기는 경우를 둘로 쪼개기

세 문제 모두 맞힐 확률

정확히 두 문제 맞힐 확률

이기는 두 경우 더하기

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