경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2018 · #23

학년 7 probabilitycounting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccombinations-basiccomplementary-countingsystematic-enumeration complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: combinations-basicfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

정팔각형의 8 개 꼭짓점을 둘레를 따라 순서대로 V₁, V₂, …, V₈이라 부릅시다. 이 8 개 중에서 3 개를 무작위로 골라 삼각형을 만들 때, 그 삼각형의 변 중 적어도 한 변이 정팔각형의 변과 일치할 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}{7}$

(B)

$\frac{5}{42}$

(C)

$\frac{11}{14}$

(D)

$\frac{5}{7}$

(E)

$\frac{6}{7}$

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 (여사건 세기)

"적어도 한 변" 이라는 표현은 도구 #16(여사건)의 대표 트리거입니다. 공유 변이 한 개인 경우와 두 개인 경우를 따로 세려면 경우가 겹쳐 번거롭지만, 반대 사건인 "공유 변이 하나도 없다" 는 "세 꼭짓점 중 어느 둘도 이웃하지 않는다" 라는 단 하나의 조건으로 깔끔하게 바뀝니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 가장 작은 꼭짓점을 고정해 이웃하지 않는 세 꼭짓점 묶음을 차례로 적어 보면 빠르게 셀 수 있고, 마지막에 1 에서 빼면 문제에서 묻는 확률이 나옵니다.

1STEP 1

전체 삼각형 수 세기

표본 공간은 8 개 꼭짓점에서 순서 없이 3 개를 고르는 경우이며, 조합으로 56 개의 삼각형이 나옵니다.

C(8, 3) = (8 × 7 × 6)/(3 × 2 × 1) = 56

2STEP 2

여사건으로 바꾸기

'적어도 한 변 공유'를 직접 세기는 번거로우니, 여사건 어느 둘도 이웃하지 않음으로 뒤집습니다.

P(적어도 한 변) = 1 - P(한 변도 없음)

3STEP 3

변 없는 삼각형 세기

어느 둘도 이웃하지 않는 묶음을 나열하면 (V₁·V₈도 이웃), 원형 비이웃 공식으로 16 개임이 확인됩니다.

8/(8-3)C(8-3, 3) = 8/5C(5, 3) = 8/5 × 10 = 16

4STEP 4

여사건 확률 구하기

56 개 중 변을 전혀 공유하지 않는 삼각형이 16 개이므로 여사건 확률은 $\frac{2}{7}$ 입니다.

P(공유 변 없음) = 16/56 = 2/7

5STEP 5

1에서 빼기

1 에서 빼면 원래 묻는 확률: 1 − $\frac{2}{7}$ = $\frac{5}{7}$ , 선택지 (D)입니다.

P(적어도 한 변 공유) = 1 - 2/7 = 5/7 → (D)

정답

5/7

답

\frac{5}{7}

≈ 0.71은 "꽤 큰 값" 으로 느껴져야 자연스럽습니다. 정팔각형 꼭짓점 셋을 무작위로 뽑을 때, 변을 단 하나도 공유하지 않으려면 세 꼭짓점이 모두 서로 떨어져 있어야 하므로 그 쪽이 오히려 까다롭습니다. 또

\frac{5}{7}

\frac{2}{7}

= 1로, 유리한 경우와 여사건이 표본 공간을 정확히 둘로 나누고 겹침이 없습니다. 선택지 (D)와 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 확률 모델 — "적어도 하나" 를 "하나도 없음" 으로 뒤집어서 세고 1 에서 빼기 — 만 알면 풀 수 있어요!

전체 삼각형 수 세기
여사건으로 바꾸기
변 없는 삼각형 세기
여사건 확률 구하기
1에서 빼기

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전체 삼각형 수 세기

여사건으로 바꾸기

변 없는 삼각형 세기

여사건 확률 구하기

1에서 빼기

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