AMC 10 · 2018 · #11

학년 7 probability
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search
combinations-basicsystematic-enumeration easier-related-problemsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: combinations-basic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
공정한 보통의 6면 주사위 7개를 던진다. 윗면 숫자의 합이 10이 될 확률을 (n)/(6⁷) 꼴로 쓸 때, 자연수 n을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
42
(B)
49
(C)
56
(D)
63
(E)
84

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

똑같이 일어날 확률을 가진 순서쌍 굴림이 모두 6⁷가지이므로, n은 합이 10인 굴림의 개수일 뿐이다 — '몇 가지인가'를 묻는 세기 문제이고 이는 Tool #2(빠짐없이 나열하기)이다. Tool #9(더 쉬운 문제로 줄이기): 각 눈이 1부터 6 사이에 있으라고 묻는 대신, 먼저 모든 주사위에 가장 작은 값 1을 준다. 그러면 7을 쓰고 나누어 줄 여분 점은 3개뿐이라 훨씬 작은 문제가 된다. Tool #4(변수 도입하기): 각 주사위를 1+e_i로 써서 남은 점 e_i를 진짜 미지수로 삼는다. Tool #7(작은 문제로 쪼개기): 여분 3점을 어떻게 묶느냐에 따라 세기가 깔끔히 나뉘고, 세 작은 개수를 더하면 답이 된다.

1STEP 1

n이 무엇을 세는지 보기

순서쌍 굴림은 모두 확률이 같고 전부 6⁷가지이므로, n은 합이 10인 순서쌍 굴림의 수다.

P=(유리한 굴림)/6⁷=n/6⁷ → n=#{(d₁,…,d₇):d_i∈{1,…,6}, Σ d_i=10}
2STEP 2

모든 주사위에 먼저 1 주기

각 주사위에 최소 1을 먼저 주면 7을 쓰고, d_i=1+e_i로 두면 여분은 e₁+…+e₇=3을 만족한다.

d_i=1+e_i, e_i ≥ 0 → e₁+…+e₇=10-7=3
3STEP 3

위쪽 한계가 걸리지 않음을 확인

주사위는 여분을 최대 5개 담지만 여분은 3개뿐이라 한계가 걸리지 않아 자유롭게 나눈다.

max e_i ≤ 3 ＜ 5 → 한계 e_i ≤ 5는 저절로 성립
4STEP 4

3점이 나뉘는 모양으로 경우 나열

모양별로: 3을 한 곳에 몰면 7, 서로 다른 두 곳에 2와 1은 7·6=42, 낱개 1 셋은 (7·6·5)/3!=35.

3=3: 7; 3=2+1: 7· 6=42; 3=1+1+1: (7· 6· 5)/3!=35
5STEP 5

경우를 더하기

세 경우는 겹치지 않고 모든 나눔을 덮으므로 더한다: 7+42+35=84, 합이 10인 굴림의 수이자 보기 (E).

n=7+42+35=84 → (E)
정답
84
답 84는 보기 (E)와 일치하고, n이 그래야 하듯 자연수이다. 다른 방식의 세기로도 확인된다: 천장 없이 똑같은 여분 점 3개를 주사위 7개에 나누는 방법은 C(3+7-1, 7-1)=C(9, 6)=C(9, 3)=(9· 8· 7)/6=84가지로, 경우 합 7+42+35과 정확히 같다. 크기도 타당하다: 6⁷=279936 중 84는 약 0.0003의 작은 확률로, 10처럼 꽤 낮은 목표 합에 어울린다.
💡핵심 정리

모든 주사위에 가장 작은 값을 먼저 준 다음, 남은 몇 점을 어떻게 나눌지만 세면 된다: 여분 3점을 주사위 7개에 나누면 7+42+35=84, 보기 (E)이다.

  • n이 무엇을 세는지 보기
  • 모든 주사위에 먼저 1 주기
  • 위쪽 한계가 걸리지 않음을 확인
  • 3점이 나뉘는 모양으로 경우 나열
  • 경우를 더하기

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