AMC 10 · 2018 · #12

학년 8 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

absolute-valuesystems-of-equationscoordinate-geometry caseworkconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: absolute-valuesystems-of-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

점 (x,y)가 두 조건을 동시에 만족해야 한다. 직선 x+3y=3 위에 있어야 하고, 이중 절댓값 ||x|-|y||이 1과 같아야 한다. 두 조건을 모두 만족하는 실수 순서쌍 (x,y)의 개수를 세어 다섯 개의 보기 중 하나와 맞춰라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기): 해의 개수를 가장 깔끔하게 보는 방법은 직선 x+3y=3이 절댓값 도형을 가로지르는 모습을 그려 보는 것이다. 만나는 점 하나가 해 하나다. 이 그림을 정확한 개수로 바꾸기 위해 도구 #4(변수 도입하기)로 x=3-3y를 대입해 한 변수로 줄인다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 절댓값의 부호에 따라 일을 나눈다. 3-3y와 y가 부호를 바꾸는 지점들이 수직선을 몇 구간으로 자르고, 각 구간 안에서는 절댓값 기호가 평범한 더하기/빼기 부호로 바뀐다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 경계에서 겹친 점을 버리고 서로 다른 해만 센다.

1STEP 1

절댓값 도형 그려 보기

||x|-|y||=1은 |x|-|y|=±1. 제1사분면의 y=x-1, y=x+1을 두 축에 반사하면 직선이 가로지르는 × 모양 띠가 된다.

||x|-|y||=1 ⇔ |x|-|y|=± 1

2STEP 2

한 변수로 줄이기

직선을 x에 대해 풀면 x=3-3y. 이제 모든 점이 한 수 y로 나오고, 조건은 ||3-3y|-|y||=1이 된다 — 해 세기가 y값 세기다.

x=3-3y → ||3-3y|-|y||=1

3STEP 3

직선을 부호 구간으로 나누기

안쪽은 y=1과 y=0에서 부호가 바뀌어 y축을 세 구간으로 자른다. y ＜ 0에선 3-2y ＞ 3이라 ±1이 될 수 없다 — 해 없음.

y ＜ 0: (3-3y)-(-y)=3-2y ＞ 3

4STEP 4

가운데 구간 0 ≤ y ≤ 1 풀기

0 ≤ y ≤ 1에선 3-4y. 3-4y=1→(3/2,1/2), 3-4y=-1→(0,1), 둘 다 구간 안 — (3/2,1/2)와 (0,1).

3-4y=1→(3/2,1/2); 3-4y=-1→(0,1)

5STEP 5

구간 y ＞ 1 풀기

y ＞ 1에선 절댓값이 2y-3. 2y-3=1→y=2, x=-3이라 (-3,2). 2y-3=-1→y=1은 이미 센 경계 — 새 점 하나.

2y-3=1→(-3,2); 2y-3=-1→ y=1 (이미 셈)

6STEP 6

서로 다른 해 세기

살아남은 (3/2,1/2), (0,1), (-3,2)를 모은다. 겹친 y=1은 (0,1) 한 번만 — 서로 다른 세 쌍, 보기 (C).

{(3/2,1/2), (0,1), (-3,2)}→ 3 쌍→(C)

정답

각 순서쌍을 원래 두 식에 넣어 확인한다. (3/2,1/2): 3/2+3·1/2=3이고 ||3/2|-|1/2||=1. (0,1): 0+3=3이고 ||0|-|1||=1. (-3,2): -3+6=3이고 ||{-3}|-|2||=|3-2|=1. 셋 모두 맞고, y ＜ 0 구간은 해가 없음을 보였으므로 빠뜨린 점이 없다. 세 번의 교차는 그림과도 일치한다. 음의 기울기를 가진 직선이 × 모양 대각선 띠를 지나면 유한하고 적은 횟수만 만난다.

💡핵심 정리

절댓값 기호가 막으면, 한 변수로 대입하고, 각 안쪽이 0이 되는 곳에서 수직선을 나눠, 조각마다 평범한 직선을 풀고, 서로 다른 답을 세라 — 여기선 3, 보기 (C)다.

절댓값 도형 그려 보기
한 변수로 줄이기
직선을 부호 구간으로 나누기
가운데 구간 0 ≤ y ≤ 1 풀기
구간 y ＞ 1 풀기
서로 다른 해 세기