AMC 10 · 2018 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremarea-trianglesinterval-arithmetic bound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

직각이 B에 있는 직각삼각형에서 두 변(다리) AB = 20, BC = 21이다. 두 다리 자신을 포함하여, B에서 빗변 AC 위의 한 점까지 그은 선분 중 길이가 정수인 것이 몇 개인지 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림을 그리면 B, 빗변, 그리고 수선의 발이 어디에 있는지 분명해진다. 핵심은 극단의 경우다. 가장 짧은 선분은 B에서 내린 수선(높이)이고, 이것이 가능한 최소 길이를 정한다. 그다음 빗변을 수선의 발에서 두 부분으로 나누어 각 부분이 지나는 정수 길이를 센다.

1STEP 1

빗변 구하기

직각이 B에 있으니 AC가 빗변이고, 피타고라스 정리로 AC = √(20² + 21²) = √841 = 29.

AC = √(20² + 21²) = √(841) = 29

2STEP 2

가장 짧은 선분은 높이

가장 짧은 선분은 B에서 AC에 내린 높이 h이고, 넓이를 같게 두면 ½·20·21 = ½·29·h에서 h = 420/29.

1/2(20)(21) = 1/2(29)h → h = 420/29

3STEP 3

가장 작은 정수 길이

420/29 ≈ 14.48이라 그보다 짧은 선분은 없으니, 가능한 가장 작은 정수 길이는 15이다.

h = 420/29 ≈ 14.48 → 최소 정수 길이 = 15

4STEP 4

수선의 발 양쪽을 훑기

A에서 발 H까지 길이는 20,19,18,17,16,15로 줄고(여섯), H에서 C까지 15,16,17,18,19,20,21로 는다(일곱).

A → H: 20,19,18,17,16,15 H → C: 15,16,17,18,19,20,21

5STEP 5

중복 없이 세기

닿는 점이 다르니 양쪽은 선분을 공유하지 않아, 6 + 7 = 13개의 서로 다른 선분 — 답은 (D)이다.

6 + 7 = 13

정답

길이는 최소 약 14.48에서 최대 21(더 긴 다리)까지 분포한다. 그 범위의 정수는 15부터 21까지뿐이다. 길이 21은 단 한 번(가장 긴 선분인 다리 BC) 나오고, 15부터 20까지의 각 길이는 수선의 발 양쪽에서 한 번씩 두 번 나온다. 그러면 1 + 6*2 = 13으로, 센 값과 일치하며 답 (D)를 확인해 준다.

💡핵심 정리

모서리에서 가장 짧게 닿는 길은 똑바로 내린 수선이고, 거기서 길이가 양쪽 다리까지 올라가니 양쪽에서 지나는 정수를 모두 세면 된다.

빗변 구하기
가장 짧은 선분은 높이
가장 작은 정수 길이
수선의 발 양쪽을 훑기
중복 없이 세기

빗변 구하기

가장 짧은 선분은 높이

가장 작은 정수 길이

수선의 발 양쪽을 훑기

중복 없이 세기

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