AMC 10 · 2018 · #21
학년 8 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
두 곡선이 만나는 곳을 세는 것은 사실 두 식을 함께 만족하는 실수 해를 세는 것이므로, 도구 #4(변수 도입하기)가 앞장선다: 포물선이 이미 x²=y+a 를 주므로 이를 원에 대입해 y 만의 한 식으로 만든다. 도구 #1(그림 그리기)은 원 안으로 들어가는 포물선이라는 그림을 곁에 두어 대수에 의미를 준다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 둘로 나눈다: 먼저 만나는 y 높이를 구하고, 각 높이마다 x 가 몇 개 나오는지 묻는다. 도구 #14(극단의 원리)는 한 높이가 점 0 개에서 2 개로 바뀌는 정확한 경계를 찾는다. 도구 #3(가능성 지우기)은 그 경계를 한 선택지에 맞는 부등식으로 바꾼다.
포물선을 원에 대입하기
포물선을 x²=y+a 로 바꿔 원 x²+y²=a² 에 넣으면 x 가 사라지고 y 만의 식 y²+y+a-a²=0 이 남는다.
x² 을 y+a 로 바꾸면 두 곡선이 y 만 아는 한 식으로 합쳐진다.
8.EE.C.8Use Matrix Logic두 y 높이 구하기
판별식이 완전제곱 (2a-1)² 이라 이차식의 두 높이가 깔끔하게 나온다: y=-a 또는 y=a-1.
지저분한 판별식이 완전제곱으로 접혀서 두 높이가 깔끔하게 나온다.
8.EE.A.2Use Matrix Logic높이 y=-a 는 항상 점 한 개를 준다
y=-a 에서 x²=y+a 는 x²=0 이 되어 꼭짓점 한 점 (0,-a) 만 남고, 이는 모든 a 에서 원 위에 있다.
포물선의 가장 낮은 점이 원 위에 정확히 놓여서 항상 보장된 만남이 된다.
8.G.B.8Draw A Diagram높이 y=a-1 은 점 0, 1, 2개를 준다
y=a-1 에서 x²=y+a 는 x²=2a-1 이 되어, 2a-1 ＞ 0 일 때만 대칭 두 점을 더하고 아니면 없다.
x² 은 음수가 될 수 없어서 우변이 음수면 점이 없고, 양수면 대칭인 한 쌍이 생긴다.
8.EE.A.2Evaluate Finite Differences개수를 더해 a 읽어내기
보장된 꼭짓점이 1, 대칭 쌍이 a ＞ 1/2 일 때만 2 를 더해 정확히 3 점이 된다 — 답 (E).
보장된 점 하나에 대칭 한 쌍을 더하면 셋이고, 그 쌍은 a 가 1/2 을 넘어야 나타난다.
7.EE.B.4Eliminate Possibilities포물선의 바닥은 항상 원에 닿아 점 하나를 주고, 두 팔은 a 가 1/2 을 넘어야 원을 다시 뚫고 나가 두 점을 더해 정확히 3 개가 된다 -- 답은 (E).
- 포물선을 원에 대입하기
- 두 y 높이 구하기
- 높이 y=-a 는 항상 점 한 개를 준다
- 높이 y=a-1 은 점 0, 1, 2개를 준다
- 개수를 더해 a 읽어내기