AMC 10 · 2018 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

similar-trianglesarea-trianglespythagorean-theoremarea-difference identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-trianglesarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

밭이 직각삼각형 모양이고 두 변(다리)의 길이는 3과 4이다. 직각인 모서리에 작은 정사각형 한 개가 심기지 않은 채로 놓여 있고, 그 두 변은 삼각형의 두 다리에 딱 붙어 있다. 정사각형의 먼 꼭짓점에서 빗변까지의 거리는 정확히 2이다. 나머지는 모두 심는다. 밭의 몇 분의 몇이 심기는지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{25}{27}$

(B)

$\frac{26}{27}$

(C)

$\frac{73}{75}$

(D)

$\frac{145}{147}$

(E)

$\frac{74}{75}$

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

정사각형의 변의 길이를 모르니 변수로 이름 붙인다. 핵심은 삼각형을 넓이를 각각 적을 수 있는 조각들로 자르는 것이다 — 정사각형, 두 개의 모서리 삼각형, 그리고 빗변 위에 얹힌 삼각형 하나. 이 조각들의 넓이 합이 전체와 같다고 놓으면 깔끔한 방정식 하나가 된다. 마지막으로 심긴 부분을 직접 재는 대신 전체에서 심기지 않은 정사각형을 빼서 구한다.

1STEP 1

정사각형의 변에 이름 붙이기

정사각형의 변을 s라 하자; 두 변이 다리 위에 있어 먼 꼭짓점은 각 다리에서 s만큼 떨어지고, s가 전부를 정한다.

s = 정사각형의 변의 길이

2STEP 2

삼각형의 크기 파악

다리 3과 4로 피타고라스 정리에서 빗변은 5, 밭의 넓이는 3 곱하기 4의 절반인 6이다.

빗변 = √(3² + 4²) = 5, 넓이 = 1/2· 3 · 4 = 6

3STEP 3

빗변 위의 삼각형

먼 꼭짓점을 빗변 두 끝과 이으면 밑변 5, 높이 2(빗변까지의 거리)인 삼각형이 생기고 넓이는 5이다.

[ 빗변 삼각형 ] = 1/2· 5 · 2 = 5

4STEP 4

두 모서리 삼각형

먼 꼭짓점은 다리를 따라 얇은 삼각형 둘도 만들며, 넓이는 각각 s(4 − s)/2와 s(3 − s)/2이다.

1/2s(4 - s) + 1/2s(3 - s)

5STEP 5

조각의 합을 6으로

정사각형과 두 모서리 삼각형, 빗변 삼각형의 합을 6으로 놓으면 s² 항이 지워져 7s = 2, 곧 s = 2/7, s² = 4/49이다.

s² + 1/2s(4-s) + 1/2s(3-s) + 5 = 6 → 7s/2 = 1 → s = 2/7, s² = 4/49

6STEP 6

심기는 비율

심긴 부분은 전체에서 정사각형을 뺀 것이라 비율은 1 − (4/49)/6 = 1 − 2/147 = 145/147, 곧 (D)이다.

1 - (4/49)/6 = 1 - 4/294 = 1 - 2/147 = 145/147

정답

145/147

정사각형은 아주 작다. 변 2/7은 1보다 한참 작고, 넓이 4/49는 약 0.08로 넓이 6인 밭에 비하면 미미하다. 그래서 밭의 거의 전부가 심기고, 145/147은 1에 아주 살짝 못 미치는 값으로 예상과 정확히 맞는다. 빠른 점검으로, 심기지 않은 비율은 2/147이라 분모에 147의 인수가 필요한데, 선택지 중 145/147만 그렇다.

💡핵심 정리

잴 수 있는 조각으로 도형을 자르고, 그 합이 전체가 되게 하면 모르는 값이 저절로 나온다.

정사각형의 변에 이름 붙이기
삼각형의 크기 파악
빗변 위의 삼각형
두 모서리 삼각형
조각의 합을 6으로
심기는 비율