AMC 10 · 2018 · #24

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
angle-bisector-theoremarea-trianglessimilar-trianglesratio-proportion identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: area-trianglessimilar-triangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
삼각형 ABC에서 변 AB=50, 변 AC=10이고 넓이는 120이다. 점 D는 AB의 중점, E는 AC의 중점이어서 DE는 두 중점을 잇는 선분이다. 각 A의 이등분선이 DE와 F에서, BC와 G에서 만난다. 사각형 FDBG의 넓이를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
60
(B)
65
(C)
70
(D)
75
(E)
80

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 사각형 FDBG를 바로 구하기는 까다롭지만, 이것은 큰 삼각형 ABG에서 작은 모서리 삼각형 ADF를 떼어낸 것과 정확히 같다. 그래서 쉬운 두 넓이로 나뉜다. 도구 #1 (그림 그리기)로 F와 G의 위치를 정한다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 각이등분선이 BC를 나누는 비를 비례 변수로 다룬다. 도구 #16 (관점 바꾸기)이 마무리 수: FDBG를 직접 재는 대신 큰 삼각형에서 모서리 삼각형을 빼낸다.

1STEP 1

그림 그리고 표시하기

A를 위에 두고 긴 AB, 짧은 AC를 그린다. 중점 D, E를 찍고 DE를 그은 뒤, 이등분선이 DE를 F, BC를 G에서 만난다.

AB=50, AC=10, [ABC]=120
2STEP 2

사각형을 다시 보기

ABG 안에서 D는 AB 위, F는 AG 위에 있어 모서리 삼각형 ADF를 떼면 FDBG가 남는다: [FDBG] = [ABG] - [ADF].

[FDBG] = [ABG] - [ADF]
3STEP 3

각이등분선으로 [ABG] 구하기

각이등분선 정리로 BG:GC = 50:10 = 5:1이라 BG는 BC의 5/6이고, 높이가 같아 [ABG] = 5/6·120 = 100이다.

BG:GC = 50:10 = 5:1 → [ABG] = 5/6· 120 = 100
4STEP 4

닮음으로 [ADF] 구하기

DE가 중점연결선이라 F는 AG의 중점. ADF와 ABG는 각 A 공유, 비 1/2로 닮음이라 [ADF] = (1/2)²·100 = 25이다.

[ADF] = (1/2)² [ABG] = 1/4· 100 = 25
5STEP 5

빼서 사각형 구하기

큰 삼각형에서 모서리를 뗀다: [FDBG] = 100 - 25 = 75, 보기 (D)이다.

[FDBG] = 100 - 25 = 75
정답
75
답 75는 삼각형 전체 넓이 120 중 합리적인 크기여야 한다. 영역 FDBG는 삼각형 ABG(넓이 100)의 아랫부분이므로 작은 1/4 모서리만 떼어낸 만큼 100보다는 작되 그 대부분이어야 한다. 75가 정확히 맞고, 전체 120 아래에 머문다. 또한 75 = 3/4 · 100으로, 1/4 모서리를 잘라낸 뒤 남는 4분의 3과 일치한다.
💡핵심 정리

이상한 사각형을 구하려면 그것을 둘러싼 삼각형을 찾고 원하지 않는 모서리만 빼면 된다.

  • 그림 그리고 표시하기
  • 사각형을 다시 보기
  • 각이등분선으로 [ABG] 구하기
  • 닮음으로 [ADF] 구하기
  • 빼서 사각형 구하기

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