AMC 10 · 2018 · #4

학년 7 counting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

combinations-basicpermutations-basicsystematic-enumeration systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: combinations-basicpermutations-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

한 학생의 하루는 6교시로 이루어져 있고, 서로 다른 수학 과목 3개 — 대수, 기하, 정수론 — 을 한 교시에 한 과목씩 배치해야 한다. 이 수학 과목 중 어느 두 과목도 연속한 교시에 놓일 수 없다. 나머지 3교시에 무엇이 오는지는 상관없다. 세 수학 과목을 배치하는 서로 다른 시간표가 몇 가지인지 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"몇 가지"라는 표현은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)를 가리킨다. 두 과목이 연속하면 안 된다는 조건이 까다로울 때, 가장 안전한 방법은 올바른 교시 묶음을 순서대로 모두 나열해 빠뜨리거나 중복하지 않는 것이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 질문을 서로 영향을 주지 않는 두 부분 — 먼저 "어느 세 교시인가?"(어디에 놓는가)와 그다음 "어떤 순서인가?"(각 자리에 어떤 과목인가) — 로 나누어, 두 작은 수를 곱할 수 있게 한다. 도구 #1(그림 그리기)은 교시를 여섯 칸으로 그려 두 수학 수업이 맞닿는 순간을 한눈에 보이게 해 나열을 뒷받침한다.

1STEP 1

어디에 둘지와 순서로 쪼개기

서로 독립인 두 선택: 어느 3교시에 수학을 둘지(연속 금지)와 각 자리에 어떤 과목인지. 각각 세어 곱한다.

(교시를 고르는 경우의 수) × (세 과목을 배열하는 경우의 수)

2STEP 2

올바른 교시 묶음 나열하기

이웃하지 않는 세 교시 조합을 나열: {1,3,5}, {1,3,6}, {1,4,6}, {2,4,6} — 4가지.

{1,3,5}, {1,3,6}, {1,4,6}, {2,4,6} → 4

3STEP 3

세 과목의 순서 세기

세 교시가 정해지면 서로 다른 세 과목이 그 자리를 채운다: 3 × 2 × 1 = 6가지 순서.

3 × 2 × 1 = 6

4STEP 4

두 경우의 수 곱하기

교시 묶음 4가지 각각이 겹침 없이 6가지 순서로 채워진다: 4 × 6 = 24, 선택지 (E).

4 × 6 = 24 → (E)

정답

두 부분은 각각 따져 봐도 타당하다. 여섯 칸 줄에서 세 교시를 떨어뜨려 놓는 방법은 정말로 4가지뿐이고, 서로 다른 세 과목의 배열은 언제나 3! = 6가지이므로 4 × 6 = 24는 일관된다. 또한 모든 교시 묶음이 6가지 순서와 함께 세어지므로 24는 반드시 6의 배수여야 한다 — 선택지 중 6, 12, 18, 24만이 6의 배수이며, 묶음이 4가지라는 사실이 정확히 24를 강제한다. (A) 3이나 (B) 6 같은 작은 답은 배치의 자유가 거의 없다는 뜻인데, 이는 우리가 나열한 네 가지 서로 다른 교시 묶음과 모순된다.

💡핵심 정리

세 수업이 들어갈 자리(떨어진 묶음 4가지)와 서로 다른 세 수업의 순서(6가지)를 센 뒤 곱하면 된다: 4 곱하기 6은 24.

어디에 둘지와 순서로 쪼개기
올바른 교시 묶음 나열하기
세 과목의 순서 세기
두 경우의 수 곱하기

어디에 둘지와 순서로 쪼개기

올바른 교시 묶음 나열하기

세 과목의 순서 세기

두 경우의 수 곱하기

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