AMC 10 · 2018 · #8

학년 7 arithmetic
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systems-of-equationslinear-equations-two-varmulti-digit-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equationslinear-equations-one-var
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
Joe는 동전 23개를 가지고 있고, 종류는 5센트, 10센트, 25센트 세 가지다. 10센트 동전은 5센트 동전보다 3개 더 많고, 전체 가치는 320센트다. 25센트 동전이 5센트 동전보다 몇 개 더 많은지 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
3
(E)
4

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

세 개의 미지의 개수가 두 가지 규칙(개수 규칙과 가치 규칙)으로 묶여 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 시작하는 것이 자연스럽다. 5센트 동전 수에 이름을 붙이면 나머지 두 개수는 주어진 조건에서 따라 나오고, 미지수는 하나만 남는다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 모든 양을 센트로 통일해 가치 식이 어긋나지 않게 한다 — 달러와 센트를 섞지 않는다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)이 말로 된 규칙을 그 하나의 미지수에 대한 한 개의 식으로 바꿔 푼다. 변수가 하나면 문제 전체가 일차방정식 하나로 줄어든다.

1STEP 1

한 개수를 이름 붙이고 나머지 만들기

5센트를 n이라 하면 10센트는 n+3, 합이 23이 되도록 25센트는 20-2n이다.

5센트: n, 10센트: n+3, 25센트: 23-n-(n+3)=20-2n
2STEP 2

가치 규칙을 센트로 쓰기

각 종류는 개수×단가(센트)를 더하므로 5n + 10(n+3) + 25(20-2n) = 320이다.

5n + 10(n+3) + 25(20-2n) = 320
3STEP 3

전개하고 정리해서 풀기

전개해 같은 항을 모으면 -35n + 530 = 320, 즉 -35n = -210이고 n = 6이다.

-35n + 530 = 320 → -35n = -210 → n = 6
4STEP 4

개수와 차이 구하기

n=6이면 개수는 6, 9, 8(합 23); 25센트에서 5센트 개수를 빼면 8 - 6 = 2, 답은 (C)다.

25센트: 8, 5센트: 6, 8-6=2 → (C)
정답
2
개수 6, 9, 8로 두 규칙을 확인한다. 개수: 6+9+8=23, 맞다. 가치: 5(6)+10(9)+25(8)=30+90+200=320센트, 맞다. 10센트 개수 9는 5센트 개수 6보다 정확히 3 많다. 모든 조건이 성립하고, 물은 차이 8-6=2는 선택지 (C)와 일치한다. 답은 선택지(0부터 4)가 기대하게 하는 크기의 작은 정수이기도 하다.
💡핵심 정리

가장 작은 미지의 개수를 문자로 두고, 그것으로 다른 모든 개수와 전체 가치를 쓴 다음, 식 하나를 풀어 다시 대입하면 된다.

  • 한 개수를 이름 붙이고 나머지 만들기
  • 가치 규칙을 센트로 쓰기
  • 전개하고 정리해서 풀기
  • 개수와 차이 구하기

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